四元数のいち構造研究――ハミルトリノの導入について――

はじめに

抽象代数学の世界では非常に有名な四元数があります。これはすでによく知られている通り、ハミルトンが導入しました。ハミルトンのその研究は、そのあとケイリーなどが八元数を導入することにより引き継ぎ超複素数の研究が行われるきかっけになりました。本研究もまた、四元数の構造研究の一考察であります。この考察をYahoo!知恵袋に公開したところ、後述するようにハミルトリノという言い方がふさわしいのではないかという意見をいただきましたので、それを採用させていただきます。なお、本研究では四元数の構造についていちいちオリジナルの概念以外には手を出しません。それについては、インターネットや本などで検索していただきたいと思います。

本文は以下より始めます。

四元数は乗法単位元の１と虚数単位iおよびハミルトンが追加したj,kからなります。これを構造を変えて以下のように定義してみましょう。

i＝abc

j＝bca

k＝cab

と定義します。ここでabcはij=kという四元数の構造と違い、abcの順序が成り立つことでiを構成しています。同様にbcaの構造が成り立つことでjを構成しています。これを私はYahoo!知恵袋の質問上で化学でいう、原子を構成する陽子、電子、中性子にたとえ質問したところ、ハミルトンのニュートリノをつなぎ合わせてハミルトリノ。というのはどうだろうか？　という回答をいただきました。私もそれが適切に考えます。

ここで最初のi=abcの両辺に左からcをかけましょう。

c・i＝cabc

c・i＝k・c

となります。

ここで、cはijkのどれにも一致しません。同様にabもijkのどれにも一致しません。つまりabcはijkとは別のものです。

このabcは交換法則は満たしません。それは定義より明らかです。ただし、結合法則は成り立つみたいなのです。実際、

j・bc・i

=bca・bc・i

＝bc・abc・i

＝bc・i＾２

＝ーbc

j・bc・i

＝j・bc・abc

＝j・bca・bc

＝j＾2・bc

＝－bc

となるからです。

ただし、結合法則が成り立つことの証明は、できていません。

ここで、上記のabcが第１クラスです。

これを以下のように上位構造を示しましょう。

　 s t u

　 x y z

―――――

　 a b c

より、

a＝uy＝yu＝tz＝zt

b＝sz＝zs＝xu＝ux

c＝sy＝ys＝xt＝tx

と置き、これらの６個の代数が第２クラスになります。

次に第２クラスを構成する６個の代数を見ましょう。

p1 q2 p3

　 s t u

　 x y z　

q3 p2 q1

ここで

s＝q2p1q3＝q3p1q2

t＝p1q2p3＝p3q2p1

u＝q2p3q1＝q1p3q2

z＝p3q1p2＝p2q1p3

y＝q1p2q3＝q3p2q1

x＝p2q3p1＝p1q3p2

と置けます。これが第３クラスになります。

これが虚数および四元数を構成する代数です。