波の進行方向
今回は、波が空間を移動するところに拡張します。
前回は時間でのみ振動する波を重ねて、音の唸りを考えました。次は時間とともに空間を進行する波を考えます。重ね合わせる前に、一つの波が空間を伝わる方向を数式で表します。x軸にだけ進行するとします。
y1=sin(kx-ωt) (1)
y2=sin(kx+ωt) (2)
上の式はどちらも一つの波です。波の波長をλとすると以下になります。
k=2π/λ (3)
kを波数(の2π倍)といいます。x=0〜λで一周期です。2πは、sin関数が0〜2πで一周期になることに合わせたものです。式(1)と(2)では、ωの前の符号が異なります。式(1)で+ω>0, k>0とします。xa<xbの2点を考えます。時間が経過すると、つまり、tが増えると、式(1)のkxa-ω1t, kxb-ω1tは減少します。 xa<xbなので、常に、kxa-ω1t<kxb-ω1t、xb地点の方がxa地点よりもkx-ωtが小さいです。kxa-ω1t, kxb-ω1tは常に減少していて、xa地点の方がxb地点よりも先に小さな値となって、時間が経過したらxb地点が小さくなります。つまり、波はxaからxbに、座標の小さな方から大きな座標に移動します。これは波の進行方向がプラスx方向であることをします。同じ仕組みで、式(2)で-ω<0の場合、波はマイナス方向に進みます。
最後に波の進行速度を説明します。周波数fは毎秒振動する回数なので、一回の振動周期T=1/fです。この時間の間に、波長λだけ進むので、波の進行速度(波高の頂点の移動速度)vは以下です。
v=λ/T
=λ/2π×2πf
=ω/k (4)
以上を纏めます。
ω>0, k>0とすると、
y1=sin(kx-ωt) (1)
y2=sin(kx+ωt) (2)
は、(1)がプラスx, (2)がマイナスx方向に進む波を示します。
k<0の場合、向きは反対になります。
波の速度は以下です。
v=ω/k (3)
ちなみに、光の波の速度は厳密に一定(c=3×10^8m/s)なので、ωとkの比率は決まります。
c=ω/k (4)
音速も近似的に一定なので、ωとkの比率は近似的に決まります。水面波の速度は、水深などで変わるので、ωとkは比例しません。
進行方向を考えました。定在波(止まって見える波)は除きます。
次回は、一つ一つの波の進行方向が同じでも、重ねると、唸りの空間方向版(波束)の進む方向が反対になることがあることを示します。
半導体にある原子を微量に入れると、電子の波を重ねた束が、電圧で本来の方向に進むものと、反対に進むものをつくることができます。
