補足としてのカリー=ハワード同型対応
ここからは補足になるのだが、量子力学関連の知識を整理しておきたいので書いてみた。シュレーディンガー方程式から始めよう。エネルギーが一定の閉じた系では、シュレーディンガー方程式は時間に依存しない以下のような方程式となる。つまり定常状態である。定常状態から始めるのは理解しやすいためである。
(ハミルトニアン)*(波動関数)=(エネルギー固有値)*(波動関数)
これは以下の方程式と同じである。
(エルミート演算子)*(固有関数)=(物理量)*(固有関数)
これは波動方程式の一種であり、固有値と固有ベクトルを持つ。以下のような対応関係がある。
固有値==>物理量(エルミート演算子で求める)
固有ベクトル==>固有関数(状態ベクトル)
振動において固有値とは固有振動数のことであり、固有ベクトルは固有振動の方向=固有モードを表わす。
ハミルトニアンはエネルギーを表わす固有値であり、エルミート演算子の一種である。この対応関係は行列表現でも変わらない。
次に量子プログラミングの話題になる。量子プログラムで表現すると、知識が整理しやすいからだ。Q#などの量子プログラミング言語では、量子ビットをデータ型で表現し、物理量をデータとして扱う。通常0か1の量子ビットで表現されるが、ブロッホ球で表現されたスピンは量子ビットと解釈可能である。これを以下のように表す。
量子ビット(データ型)==>物理量(データ=計算結果)
実際には、何らかの量子計算を行い、計算結果(物理量)を得るには測定(観測)が必要だから、
量子ビット==>観測(射影演算子で測定)==>物理量
という過程が必要になる。ユニタリ変換を行う量子ゲートをユニタリゲートというが、量子ビットに対してユニタリゲートを作用させて計算を行い、射影演算子(射影演算子はユニタリ演算子ではなくエルミート演算子)で測定を行って計算結果を得る、というのが一般的な量子計算の流れである。
ここから再びカリー=ハワード同型対応について述べる。本稿ではカリー=ハワード同型対応を、
記号論理==>チューリング機械==>量子チューリング機械==>宇宙(素粒子物理学)
のように拡張してきた。再度掲載すると、
量子チューリング機械==> 宇宙(素粒子物理学)
量子ビット==> 素粒子のスピン
量子プログラム==> 素粒子の相互作用(初期条件)
量子プログラムの実行==> ？
ここで、
量子プログラムの実行==> 時間(時間発展演算子=ユニタリ演算子)
と仮定してみる。時間はエルミート演算子ではなくユニタリ演算子である。従って物理量ではない。時間は演算子ではないとはこういう意味だ。物理量でないなら、一体何なのだろうか。時間発展演算子は時間そのものではなく、状態ベクトルの変化を表現しているにすぎない。一般相対性理論では時間は時空の一部である。しかし量子力学では物理量ではないのだから、時間は存在しない、ということさえ可能である。事実そのように主張する研究者もいる。
すでにこの時点で量子力学と相対性理論を統合するは不可能に思えてくる。両者の前提の隔たりは大きすぎて、統合するのは無理ではないだろうか。
もう一つ問題がある。不完全性定理である。記号論理学では自己参照を行うような定理には制限があり、不完全性が現れる。これをカリー=ハワード同型対応から考えると、プログラムによってデータ型の性質全てを記述することはできない、となる。宇宙の場合、量子プログラムによって量子ビットすなわち状態関数の性質全てを記述しようとすれば、同様の制限が現れるはずだ。以前の章で書いたように、量子プログラムにも計算不能性は存在する。量子プログラムの実行を時間と仮定すれば、計算不能はプログラムの無限ループを意味する。これは時間の停止と解釈可能である。
時間の停止とは何を意味するのだろうか。時間の確定とは位置の確定であり、局所性と理解できる。すなわち、
時間確定=位置確定=局所性
そして時間の不確定とは位置の不確定であり、非局所性と解釈できるはずだ。すなわち、
時間不確定=時間停止=位置不確定=非局所性(遍在性)
繰り返すが、この文脈での時間とは量子プログラムの実行である。
以上の解釈が可能だとすれば、不完全性定理は以下のように拡張される。
記号論理==> 不完全性定理
計算機科学==> 決定不能性あるいは停止問題
宇宙==> 非局所性
いうまでもなく、一般相対性理論は局所性の理論である。量子重力理論が可能ならば、それは局所性と非局所性という矛盾した性質を持つ理論を統合しなければならない。これは粒子性と波動性の統合という議論と同じ構造を持っている。現在のところ、これらの矛盾を完全に説明できる理論は存在しない。
計算機科学の言葉で言えば、時間は量子チューリング機械の状態遷移、つまりユニタリ変換である。時間の矢は量子プログラムのソースコード、各ステップに相当する。哲学的問題としては、これはシミュレーション仮説である。だとすれば重力場は何に相当するのだろうか。
これまでの議論をふまえれば、量子力学は宇宙という量子コンピューターの量子プログラムであり、一般相対性理論も量子プログラムであろう。
一神教の系譜からすれば、単一のプログラムのみが実行されていると考えたいのだろうが、量子コンピューターは超並列コンピューターであり、マルチスレッドである。複数のプログラムが実行されていても不思議ではない。何らかのメッセージ通信が行われ、整合性がとれていればよい。マルチバースに近い考え方である。
ここまでの考察で量子重力理論の未来は暗いことははっきりしたが、前章で述べたようにブラックホールコンピューターを使えば状況を打開できる。ブラックホールコンピューターで別の宇宙と通信すれば、理論的制約から逃れることが可能だ。
結局量子重力理論の実現にはマルチバースが前提条件だといえそうだ。あるいは余剰次元の発見でもよいが、全く別の公理系からのアプローチの方が理論的制約が少ないと思われる。今物理学が目指すべき課題はマルチバースの実証実験ではないだろうか。
