平方剰余の第１補充法則の独自の証明　その２

作者：のぶ

【追記】

ガウスがこれを発見していたことを見つけました。

まあ、簡単だしなあ。

誰かがすでに見つけているだろうと思ったけれど。

数か月前にも平方剰余の第１補充法則の独自の証明を投稿しましたが、また見つけたので投稿します。

平方剰余の第１補充法則の主張

ルジャンドルの記号(/)を使い、

(―１/ｐ)＝（―１）＾（（ｐ－１）/2）

が成り立つ。

私の証明その２

合同式の性質より素数ｐに対して平方剰余も非平方剰余もともに（ｐ－１）/２個ある。

ここでハーディーとライトの共著の「数論入門Ⅰ」から定理８５を引用する。

定理８５

２つの剰余の積,または２つの非剰余の積は剰余である.一方,１つの剰余と一つの非剰余の積は非剰余である.

つまり、適当に、ともに（ｐ－１）/２個ある剰余と非剰余を掛けると非剰余でこれは、

（―１）＾（（ｐ－１）/２）

と表記可能で、同時に１からｐ－１までのすべての自然数を１回ずつ掛けているので、ウィルソンの定理を使ったうえで

（－１/p）＝（―１）＾（（ｐ－１）/２）

となります。

これで平方剰余の第１補充法則の証明が完了しました。