コラッツ予想、最新9 解説
さて、読者は、あの難問がこんな簡単なわけがないと思うだろう。
最大の疑問は１を無視しているところだと思う。
これは、演算を正確にトレースしているわけではなく、１は無視しても構わないほど小さなものとして扱っているからだ。
演算の正体は、ウサギと亀である。1/3の世界へ誘い込み、あたかも先発の亀をウサギが追い越せないように思わせていたのだ。
3倍というのは１を3分割していくことに等しい。さらに1/3は2進数ではあらわせない。ここにも罠があった。つまり、整数の世界ではぶれが生じているのである。見えてる１が実は１ではなく3/2であることが混乱の原因だ。
そして、最大の罠は1回目の演算だ。1回目は１のビットが3と隣のビットを変更してしまう。そしてこの１も小数部が不定である。つまり隣り合うビットの隙間に１があるかどうかである。
そこで、１回目だけ演算をして2回目から考えることにした。
1回目の演算結果で出てきた１は元の世界では1/3であり、隣のビットを犯すことはない。
Σ1/3^p=(1-1/3^q)/2
1/2までしかいかない。1回目の3倍によって隣のビットとの間は１から1/2の範囲になったので、3倍を続けても隣のビットには届かない。
さて、次に途中の１が無視できるのも、連続する０をスキップさせる処理で説明できる。
2進数で表示した世界ではいくつだかわからない１も演算上は1/3として扱えばいい。
繰り上がりがないということは、１つのビット、つまり最下位のビットのみ2進数で演算すればいいわけだ。
ここで重要なのが＋１を行わないことである。
＋１を行わないということは奇数なら1/2し、偶数なら3倍するということになる。
つまり、１というビットはそもそも無視していいといっているのである。
しかし、１の桁を無視していいという意味ではない。
隣り合うビットの間には無数の０と１が混在している状態なのだ。
ここで、重要なのが最下位は常に１であるということだ。＋１をしない場合は０と言い換えることが出来る。
無数にある０と１を0だけにできるのである。
１は不定だが０は０なのである。
よって常に4/3しか増加しないと見なせ、１は無視していいことになる。
１－＞１１－＞１００１ー＞１１０１１
3倍により途中に発生する１は3倍を省略できるかどうかでしかなく、すべて０が揃っている時がもっとも多く演算が必要だということになる。
つまり１を無視し、全て０と見なすことで、実際よりも多い回数の演算を行うことになり、それでも収束すれば、予測はなりたつといえることになる。
最上位の１に到達すれば終了なので、最大の回数は1回目の演算結果のピット数zにたいして3(2^(z-1))で表すことができる。
