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微分の定義、具体例

【微分の定義】

※これは理解できなくても大丈夫！下の公式で雰囲気を掴んでください。

ある関数 f(x) において、x をちょっとだけ h だけ増やすときの y の増加量を見て、

f'(x) = {f(x+h) - f(x)} / h

この h を「限りなく0に近づけたとき」の値が「f(x)の微分」です。

（つまり、すごく小さい h のときの、変化の割合）

※f(x)の微分はf ' (x)と書きます。

f ' (x)に対してさらに微分という操作を行ったものは、f ''(x)と点が増えていきます。

yをxで微分したものをdy/dxとかいたり、

d f(x)/dx と書いたりもします。

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【よく使う微分の公式】

1.f(x) = x^n のとき

⇒ f’(x) = n * x^(n-1)

2.f(x) = a（定数）

⇒ f’(x) = 0

y=1のグラフというのは、xが増えてもyが常に1という意味なので、x軸（横の線）に平行な直線になります。このため、傾き＝yの増え具合はずっと0になる、というイメージです。

3.f(x) = a × x（aは定数）

⇒ f’(x) = a

4.f(x) = x^2

⇒ f’(x) = 2x

5.f(x) = x^3

⇒ f’(x) = 3x^2

6.f(x) = sin(x)

⇒ f’(x) = cos(x)

7.f(x) = cos(x)

⇒ f’(x) = -sin(x)

8.f(x) = e^x

⇒ f’(x) = e^x

9.f(x) = ln(x)（自然対数）

⇒ f’(x) = 1/x

10.f(x) = 1/x

⇒ f’(x) = -1/x^2