ガウス関数とデルタ関数のフーリエ変換
【1. ガウス関数のフーリエ変換】
関数：f(x) = exp( -a * x^2 ) （a > 0）
フーリエ変換：F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} exp( -a * x^2 ) * exp( -i * ω * x ) dx
= sqrt(π / a) * exp( -ω^2 / (4a) )
※ この式は、「ガウス関数のフーリエ変換は再びガウス関数になる」ことを示します。
これを逆フーリエ変換すれば：
f(x) = (1 / 2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) * exp(i * ω * x) dω
= (1 / 2π) ∫_{-∞}^{∞} sqrt(π / a) * exp(-ω^2 / (4a)) * exp(i * ω * x) dω
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■ ガウス関数を「何かの重ね合わせ」で書くなら？
ガウス関数は、無限に多くの波（複素指数関数）の重ね合わせで構成されています。
つまり、フーリエ変換そのものが、ガウス関数を「周波数の重ね合わせ」で書き表す方法です。
exp(-a x²) という「山なりの形」は、すべての周波数 ω に渡る exp(iωx)（=複素指数関数、つまりサイン波とコサイン波の組み合わせ）を、ガウス状に重みづけして（高周波数になるほど係数が小さくなる）足し合わせたものなのです。
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【2. デルタ関数のフーリエ変換】
関数：
f(x) = δ(x)
フーリエ変換：
F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} δ(x) * exp( -i * ω * x ) dx
= exp( -i * ω * 0 ) = 1
※ デルタ関数のフーリエ変換は 定数1 になります。
これは「すべての周波数が等しく含まれている」ことを意味します。
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【逆に、デルタ関数はフーリエ逆変換で表現できる】
δ(x) = (1 / 2π) ∫_{-∞}^{∞} exp(i * ω * x) dω
これは、無限に広がったすべての周波数の波（複素指数関数）を足し合わせると、一点に集中した関数になることを示します。
