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フーリエ級数の定数項

◆ まずフーリエ級数とは？

周期的な関数 f(x)（例えば、2π 周期の関数）を、

f(x) = a0/2 + Σ[n=1 to ∞] { an*cos(n*x) + bn*sin(n*x) }

という形、sinとcosという波の重ね合わせで書こう！というものです。

何倍してから足し合わせるのか、の何＝係数を以下のように求めることができるのですが、まずはフーリエ展開が知ってる波（cosとsin）への分解であるという理解だけで構いません。

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◆ フーリエ係数を求めるステップ

ステップ1：関数の周期を決める

基本は 2π周期ですが、例えば [-π, π] や [0, 2π] の範囲を使うことが多いです。

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ステップ2：係数 a_0, a_n, b_n を求める

a0 = (1/π) * ∫[-π to π] f(x) dx

an = (1/π) * ∫[-π to π] f(x) * cos(n*x) dx

bn = (1/π) * ∫[-π to π] f(x) * sin(n*x) dx

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ステップ3：得られた係数を式に入れる

上で求めた a_0, a_n, b_n を、級数に当てはめればOK！

【例】f(x) = x（奇関数）のとき

[-π to π] 周期で

a0 = 0

an = 0

bn = 2 * (-1)^(n+1) / n

よって、

f(x) = Σ[n=1 to ∞] { 2 * (-1)^(n+1) / n * sin(n*x) }

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◆ 補足：なぜこのやり方でいいの？

三角関数たちは、お互い直交しているからです。興味が出たら、大学数学の微分積分を調べてみてください！面白いですよ！

◆ 補足：周期が 2π じゃない場合は？

周期が T のときは、2π/Tを使って、式をスケーリングすればOKです。