21/30
講義8 オイラーの公式の証明
【オイラーの公式】
e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)
⸻
【証明：テイラー展開を使う】
指数関数、サイン、コサインをそれぞれテイラー展開して比べてみます。
① e^(ix) の展開
e^(ix) = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + ...
= 1 + ix - x^2/2! - i·x^3/3! + x^4/4! + i·x^5/5! - ...
②偶数項（x^0, x^2, x^4, …）と奇数項（x^1, x^3, x^5, …）に分けて見ると
e^(ix) = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...) ←これは cos(x)
+ i·(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...) ←これは sin(x)
③よって、
e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)
