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e^xのテイラー展開
指数関数 e^x のテイラー展開は以下のようになります。
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
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【意味の解説】
指数関数 e^x は、どこで微分しても形が変わらない関数です。
つまり、
f(x) = e^x のとき、f'(x) = e^x, f''(x) = e^x, ...
これを使って、x = 0 を中心にしたテイラー展開をすると：
e^x = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...
= 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
これは、どんな x にも適用できる無限級数（無限に続く足し合せ）です。
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【おまけ】
たとえば x = 1 を代入すると：
e^1 = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... ≒ 2.718...
計算が進むにつれて、より正確な e に近づいていきます。ここからも、eが大体2.7ぐらいなのが分かりますね。
