三角関数のテイラー展開
テイラー展開の公式
f(x) ≒ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
マクローリン展開の公式（aに0を入れる）
f(x) ≒ f(0) + f'(0)×x + f''(0)× x^2 / 2! + f'''(0)×x^3 / 3! + f⁽⁴⁾(0)×x^4 / 4!
+ ...
+ f⁽ⁿ⁾(0)×x^n / n!
+ ...
▼sin(x) の微分の流れ：
f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)
f⁽⁴⁾(x) = sin(x)（元に戻る）
→ 微分を繰り返すと、元に戻る。
→ sin(x) のグラフは「波」。滑らかで周期的。
▼x = 0 での値を代入：
sin(0) = 0
cos(0) = 1
-sin(0) = 0
-cos(0) = -1
sin(0) = 0 ...
▼よって、展開式：
sin(x) ≒ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
※x の奇数乗だけが出る。
※符号は + − + − … と交互。
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【cos(x) を例に説明】
▼cos(x) の微分の流れ：
f(x) = cos(x)
f'(x) = -sin(x)
f''(x) = -cos(x)
f'''(x) = sin(x)
f⁽⁴⁾(x) = cos(x)（元に戻る）
▼x = 0 での値を代入：
cos(0) = 1
-sin(0) = 0
-cos(0) = -1
sin(0) = 0 ...
▼よって、展開式：
cos(x) ≒ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
※偶数乗だけ。
※符号は + − + − … と交互。
階乗を計算して、具体的に書くと下のようになります。
sin(x) ≒ x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + ...
cos(x) ≒ 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + ...
