数学の教科書《フーリエ変換の理解を目的とした関数解析入門》

sinの微分

■ sin(x) のグラフって？

•時計の針の縦の動きをグラフにしたのが sin(x) の波。角度が大きくなる動きは反時計回りなので、逆向きの時計の針をイメージしてください。

•右（3時）＝0度 → 上（12時）＝90度（π/2）→ 左（9時）＝π → 下（6時）＝3π/2 → 右（3時）＝2π で一周。

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■ 微分って何？

•微分は「どれだけ変化してるか」を表すもの。

•針の縦の動きの“速さ”や“傾き”を調べていく。

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■ sin(x) を微分すると何になる？

→ cos(x) になります

その理由を考えてみましょう！

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■ 時計の針を使って説明すると：

● x = 0（3時）

•sin(0) = 0（縦の高さはゼロ）

•でも針は上向きに動き始めている（増加中）

⇒ 傾きはプラス最大 → cos(0) = 1

● x = π/2（12時）

•sin(π/2) = 1（縦の高さは最大）

•でもその瞬間、針の縦の動きは止まっている

⇒ 傾きはゼロ → cos(π/2) = 0

● x = π（9時）

•sin(π) = 0（縦の高さはゼロ）

•でも今度は下向きに動いている（減少中）

⇒ 傾きはマイナス最大 → cos(π) = -1

● x = 3π/2（6時）

•sin(3π/2) = -1（最も低い位置）

•この瞬間も、動きは一瞬止まっている

⇒ 傾きは 0 → cos(3π/2) = 0

sinの傾きは1,0,-1,0と周期的に変化することがわかり、これがcosに一致しています。

よく分からなくても大丈夫です！次のcosはより細かく説明していますので、色んな例を見ていきましょう！