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自然数e

関数をグラフで描いた時、傾きと微分が関係しているという話をしました。

では、関数を微分したとき、変わらない形になる関数、つまり、グラフのある点における傾き（= 接線の傾き）が、元の関数の値そのものになる関数もあります。

それを満たす関数は…

f(x) = e^x

→ なんと、e^xの微分は、またe^x！

という特徴があります。

eは自然数（ネイピア数）と呼ばれ、大体2.7ぐらいです。

これさえ覚えておけばいいのですが、以下に発生した歴史的な話をします。

◆「e」はどこから来たのか？

●出発点：利息の計算（複利）

たとえば、100円を年利100％で預けたとします。

1年後にはどうなるか？

①年1回の複利なら

→ 100円 × (1 + 1) = 200円

②年2回の複利（半年ごとに50％ずつ増える）

→ 100 × (1 + 0.5)² = 225円

③年n回に分けて利息をつけたら？

→ 100 × (1 + 1/n)^n

この「(1 + 1/n)^n」って式、nを大きくするほど増えるけど、限界がある。

→ n→∞（無限回に細かく利息をつける）と…

lim n→∞ (1 + 1/n)^n = e（約2.718）

つまり「eは、究極に細かく利息をつけたときの倍率」なんです。