２０２２は素数か？
本作は『２０２１は素数か？』の続編となります。
数学スキーの皆様のための、小説でございます。
２０２１は素数か？
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新年あけましておめでとうございます。
ことよろでございます。
ＮｉＯさんでございます。
さて。
新年早々、さっそく本題に入らせていただきましょう。
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２０２２って、素数でしょうか？
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宜しければ皆さんも少しお考え下さい。
答えは……
…………
………
……
…
…
……
………
…………
ズバリ！
……素数……ではありません！
読者様「え、ええ？ でも、結構試したけど約数出てこなかったよ？」
フフフッ。
思うツボですね！
よく見てください。
２０２２は、偶数ですよね？
つまり？
「あ、あああああ、そうか！
２で、割り切れるんだ！」
フフフ。
その通りでございます。
ちなみに、あと、３とか、３３７とかでも、割り切れますよ。
すごいですね！
～fin～
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……それで終わっても面白くないので、せっかくなので新年早々計算問題を出してみたいと思います。
皆さま、紙とペンを、ご用意ください。
果たして、この問題が、解けますでしょうか？
フフフッ……（ ＾ω＾）。
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167³-168³-169³+170³
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読者様「ひ、ヒイイイイ！
３乗の計算とか、無理だよォオ！」
まあまあ、落ち着いてください。
確かに、普通に解くと大変な、3乗計算問題ですが。
因数分解を使うと、アラ不思議。
意外と簡単に、解けちゃったりします。
さあ皆様も、中高生に戻った気持ちになって、解いてみてはいかがでしょうか。
忘れてしまった方用に、以下に因数分解も乗っけて置きますので。
もしよろしければ、使ってみてくださいね！
① Ｘ²+（Ａ+Ｂ）Ｘ+ＡＢ＝（Ｘ+Ａ）（Ｘ+Ｂ）
② Ｘ²+ ２ＡＸ+Ａ²＝（Ｘ+Ａ）²
③ Ｘ²－２ＡＸ+Ａ²＝（Ｘ－Ａ）²
④ Ｘ²－Ａ²＝（Ｘ+Ａ）(Ｘ－Ａ)
⑤ Ｘ³＋Ａ³＝(Ｘ＋Ａ)(Ｘ²－ＸＡ＋Ａ²)
⑥ Ｘ³－Ａ³＝(ＸーＡ)(Ｘ²＋ＸＡ＋Ａ²)
…………
………
……
…
…
……
………
…………
さて。
3乗計算なので、もちろん一番最初に使うのは⑤・もしくは⑥の因数分解になります。
いろんな解答方法があるとは思いますが、掛け算であれば、大きな共通項を作った方が楽に解けると思われます。
と言うわけで、167と170、168と169をペアにして、今回はやっていきましょう。
167³-168³-169³+170³
＝167³+170³-168³-169³
＝167³+170³-（168³＋169³）
因数分解⑤の式より
＝(167+170)(167²－167×170＋170²)－(168+169)(168²－168×169＋169²)
ここで、167+170＝337ですし、168＋169＝337なので、まとめることができますよね。
＝337×(167²－167×170＋170²)－337(168²－168×169＋169²)
＝337×{167²－167×170＋170²－（168²－168×169＋169²)}
次は{}の中を変形してみましょう。
ここはムリヤリに因数分解②もしくは③を使うところです。
どちらでもよいのですが……大きな数字をガッツリ消すのがNiOさんの好みなので、ここは②を使わせて頂きます。
＝337×{167²－167×170＋170²＋ 2×167×170 － 2×167×170
－（168²－168×169＋169²＋ 2×168×169 － 2×168×169 )}
＝337×{167²＋ 2×167×170 ＋170²－167×170－ 2×167×170 －（168²＋ 2×168×169 ＋169²－168×169－ 2×168×169 )}
167×170と168×169は、まとめちゃいましょう！
＝337×{167²＋2×167×170＋170²－3×167×170－（168²＋2×168×169＋169²－3×168×169)}
それではいよいよ……。
＝337×《（167²＋2×167×170＋170²）－3×167×170－｛（168²＋2×168×169＋169²)－3×168×169}》
因数分解②の公式を使いましょうか！
=337×《（167＋170）²－3×167×170－{（168＋169)²－3×168×169}》
最初の方でも言いましたが、167+170＝337ですし、168＋169＝337なのですよ。
＝337×｛337²－3×167×170－（337²－3×168×169）｝
()を外して変形すると……。
＝337×｛337²－3×167×170－337²＋3×168×169｝
＝337×(3×168×169－3×167×170)
＝337×3×(168×169－167×170)
そろそろ、答えが見えてきましたね！
もうここから無理矢理3ケタ×3ケタの掛け算をやって、強引に答えを求めても良いのですが。
ここは敢えて、170＝Ｘとでも、おいてみましょうか。
＝337×3×(168×169－167×170)
＝337×3×{(170－2)×(170－1)－(170－3)×170}
＝337×3×｛（Ｘ－2）（Ｘ－1）－（Ｘ－3）Ｘ｝
因数分解①を、逆に使って分解しましょうかね。
＝337×3×｛(Ｘ²－3Ｘ＋2)－(Ｘ²－3Ｘ)｝
＝337×3×｛(Ｘ²－3Ｘ＋2－Ｘ²＋3Ｘ｝
＝337×3×2
良い感じにＸが消えてくれましたので、170を代入しての計算はしなくても良いみたいですね！
さあ、ここまで来たら、あとは計算のみです！
337×3×2！
答えは……!?
…………
………
……
…
…
……
………
…………
答えを出せた皆様、おめでとうございます。
答えはモチロン……【２０２２】になります！
読者様「す、すごい！
こ、これが、あの有名な、ＮｉＯさんの、スーパー伏線回収!!」
フフフッ。
それほどでもありません（ ＾ω＾）。
それでは皆さま、今年も、よろしく、お願いいたします！(ドヤ顔で)
問題に関しましては、Numberpedia (number-pedia.com)の『2022』の項にあった数式より引用しております。
