√２が無理数であることの無限降下法を用いた新証明

まず最初に以下のaとbは互いに素だと仮定しない。

√２が有理数だと仮定する。

すなわち√２はある自然数a,bを用いて分数表記が可能。

より

√２＝b/a

2＝b^2/a^2

2a^2＝b^2

3a^2＝a^2＋b^2

となる。

ここでaとbは互いに３の倍数でならないといけない

a≡０、ｂ≡１ mod 3、a≡１、b≡０ mod 3、a≡１、b≡１ mod3

だと左辺が３の倍数にならないため。

より

a＝３c、b＝３dと表記可能

より代入して９で割って

３c^2＝c^2＋d^2と可能

おなじ理屈でc＝3e、d＝3fと表記してそこからさらに３の素因数を持った自然数が見つかる。

この操作は無限に可能

つまり最初に互い素にだと仮定しなかったa,ｂは３の倍数を無限に持つが自然数の約数の個数は有限個ではないといけない。

これはつまり最初に√２が分数表記可能の有理数だと仮定したことに誤りがある。

つまり√２は無理数である