2020-12-21 三次元トーラスについて
さてさて先週、三次元トーラスについて書いた後、なんだか気になったのでいろいろあちこちみて回ったりした。
トーラスというのは、ある次元のまっすぐな空間をループさせた形、という感じで考えればいいらしい。一次元なら、一次元人からするとまっすぐな空間なんだけど、ぐるっとズンドコすると元のところに戻ってくる感じ……うん、これは円だな。一次元だと定義上、トーラスと球はどちらも円になって区別がつかないとかそういうことかな。
で、二次元のトーラスは平ったい平面をぐるっと丸めたドーナツな形がトーラスということになる。二次元だとドーナツとお団子で、形に区別ができるということなのだろう。この時、トーラスの作り方の考え方として、一次元の円を、もう一つの一次元の円に沿ってぐるりと一周させる、そのぐるりと回った方の円の軌跡としてできる面がトーラスになるというのがあるようだ。つまり、二次元トーラスは一次元の球を二つ掛け合わせて作ればよかろうとかそういうことになる。
記号で書くとT2＝S1xS1になるようだ。Tはトーラス、T2が二次元トーラスを意味し、SはSphereで球、S1は一次元球ということを指している。なお、一次元だと球もトーラスも区別つかないからT1＝S1になるのかな、と考えてみたけどそういうのはあまり誰も気にしてなさそうだ。ちなみに二次元球はS2と書くらしい。
この書き方で考えると、三次元トーラスT3＝S1×S1×S1ということになりそうだ。もしくはT3＝T2×S1かな……？二次元トーラスたる、ドーナツちゃんを四次元方向の一次元の円に沿ってぐるりと一周させた時の軌跡でできる三次元空間がT3……うーん、よくわからない……。
もう一つ、私が先週書いた形は多分、二次元球を四次元方向の一次元の円に沿ってぐるりした感じのもので、S2×S1というものになるらしい。三次元トーラスT3と、S2×S1はぜんぜん違う形らしいので、三次元のトーラスで話を進めるか、このままS2×S1ちゃんで話を進めるかでちょっと悩まないといけないのかもだ。
