コラッツ予想（４２）完全証明？にまとめてみた（改２）

作者：明日香狂香

　m=(3n+1)/(2^r)

　m,n,r,は、m,nが奇数、n>1の任意の自然数の組とする。

　記号^は指数記号とする。

　mをnに代入し続ける。

　r>1、すなわちm<nの場合は、すでにを検証済みと仮定する。

　M=-3m

　N=-3n

　とすると

　M=3(N-1)/2

　全てのNはr=1、n>1より

　N=-(2^a)3K+3

　a=2の場合は、n=1となり条件を満たさないため、

　自然数a>2,奇数Kで表すことがきる。

　変換を繰り返し、y回目のNをK[y]と表すとすると

　K[1]=-3(2^(a-1))3K+3

　K[y]=-(3^y)(2^(a-y))3K+3

　KおよびMは奇数であることから、

　K[a]=(-(3^a)3K+3)/(2^f)

　fは自然数

　このK[0]からK[a]までのMの組み合わせを

　系K[a]

　と呼ぶことにする。

　K[a]は別のP[b]の系列にも属する。

　K>Pの(a<bでも構わない)系列をたどっていくと

　4K+3^2=4(K+2)+1

　3^2=1001(2)

　なので、必ずでa+2=bでK-2=Pの系列とつながっているので、

　最終的には

　1[x]にたどり着く。

　これらをまとめて

　系x

　と呼ぶことにする。

　すべてのNはいずれかの系に属する。

　そのためm<nで検索済みとしたものもいずれかの系に属する。

　大きく分けてxは偶数の塊と奇数のかたまりに分類される。

　系xのnの開始点を

　2^x-1

　mの終点を

(3^x-1)/2^f

　とする。

　系xのすべての値は終点に到達することがいえる。

　すなわち

　Nの違いが末尾が2進数で

　1001

　100001

　と

　101

　10001

　などはそれぞれ、同じ系列である。

　改めて、

　xの小さい順に各系を開始点から終点までを順次探索するものとする。

　このとき、各系の終点はより小さい値の系に属してるので、ループすることも途切れることもない。

　そのため、xを奇数か偶数かで順次小さい系へとたどっていけば、すべてのNは

　-N=2^p+1=3^q

　となりうる-3または-9に到達する。

　よって、全ての奇数の自然数nは１に到達するので予想は正しいといえる。

証明内容から導き出される結果は、２進数で11111のように１が並んだ数値は繰り返していれば、しだいにより短い連続する１を繰りかえしながら１へ収束するというもので、実際とあっていました。

簡単に言えば、１が短くなり続けるのでループは起こさないということです。

修正

K-2=P

の説明を数式に変更