第３話 公式なんていらないことをまだ信じられない方へ
アクセスいただきありがとうございます。最終話です。御覧ください。
前話を読んでも納得できなかった方はいますか？
実際にセンター試験に出された問題を解いてみましょう。
２０１７年(平成２９年)センター試験物理第５問抜粋
はじめに、基本に忠実に媒質(地面)、音源、観測者の三つ視点から、波の速さの式を立ててみましょう。
前話でまとめた三つの基本式を再掲します。
[１] 媒質(又は地面)から見た音の速さ
Ｖ＝ｆ×λ …………(基本式1)
[２] 音源から見た音の相対的な速さ
Ｖ－ｖｓ＝ｆ×λ(ｖｓ) …………(基本式2)
[３] 観測者から見た音の相対的な速さ
Ｖ＋ｖｏ＝ｆ(ｖｏ)×λ(ｖｓ) …………(基本式3)
まず、問１を解いてみましょう！
媒質(又は地面)から見た音の速さは、題意のとおりです。基本式１においてｆ＝ｆ１です。
Ｖ＝ｆ1×λ
音源から見た音の相対的な速さは、音源が静止しているので、基本式２においてｖｓ＝０です。このため、観測波長λ(ｖｓ)はλのままです。
Ｖ＝ｆ1×λ
λ＝Ｖ／ｆ１
観測者から見た音の相対的な速さは、観測者が音に向かっているので、Ｖ＋ｖです。観測者は、音の波長λをそのまま受け取るので、
Ｖ＋ｖ＝ｆ(ｖ)×λ
ｆ(ｖ)＝ｆ１×(Ｖ＋ｖ)／Ｖ ＞ｆ１
したがって、問１の答えは、
観測者に聞こえる音の振動数は、「ｆ１より大きく」なり、音源から観測者へ向かう音波の波長は「Ｖ／ｆ１」である。選択肢でいえば、答えは⑧です。
次は、問２を解いてみましょう！
媒質(又は地面)から見た音の速さは、題意のとおりです。基本式１においてｆ＝ｆ2です。紛らわしいので、λ＝λ0としておきます。
Ｖ＝ｆ2×λ0
音源から見た音の相対的な速さは、基本式２において、音源がｖで音を追いかけているので、「Ｖ－ｖ」です。振動数ｆ＝ｆ２はそのままです。題意から、観測波長λ(ｖ)＝λで与えられています。したがって
Ｖ－ｖ＝ｆ２×λ
観測者から見た音の相対的な速さは、観測者が静止しているのでｖｏ＝０です。 観測者は、λをそのまま受け取るので、
Ｖ＝ｆ(ｖ)×λ(ｖ)
いちおう、３式とも立てましたが、使うのは真ん中の式だけです。
音源から観測者に向かう音波の波長は、
λ＝(Ｖ－ｖ)／ｆ２
となります。選択肢でいえば、答えは②です。
最後に問３を解いてみましょう！
この問題はドップラー効果の公式を暗記しているだけの人には解けないかもしれません。この問題では、反射板が登場しています。
基本式に戻りたいと思いますが、登場人物(視点)が四つになってしまったのでしょうか？ いえいえ、従前のとおり、登場人物(視点)は三つのままで大丈夫です。まず、反射板は、音源との関係では、観測者の立場になります。そして、観測者との関係では、新たな音源として扱えばよいのです。
では「音源から見た音の相対的な速さ」と、観測者として振る舞う「反射板から見た音の相対的な速さ」を記述してみましょう。
まず、音源から見た音の相対的な速さは、題意及び音源が移動していないことから、次のとおり。
Ｖ＝ｆ1×λ
反射板から見た音の相対的な速さは、反射板は音に向かっていくので「Ｖ＋ｖ」です。反射板はλをそのまま受け取るので、f2を観測振動数とすると、次のとおりです。
Ｖ＋ｖ＝ｆ2×λ
上記の二つの式をまとめると、
ｆ2＝ｆ1×(Ｖ＋ｖ)／Ｖ……(1)
次に、音源として振る舞う「反射板から見た反射音の相対的な速さ」と「観測者から見た反射音の相対的な速さ」を記述してみましょう。
音源として振る舞う反射板は反射音を追いかけるので、反射板から見た反射音の相対的な速さは「Ｖ－ｖ」です。また、反射板は、疑似的な音源として、上記(1)で求めたｆ2をそのまま跳ね返します。このため、反射音の振動数はｆ2です。音源として振る舞う反射板が移動しているため、新たな観測波長λ′が生じます。以上から、反射板から見た反射音の相対的な速さは、
Ｖ－ｖ＝ｆ2(ｖ)×λ′
となります。観測者から見た反射音の相対的な速さは、観測者が静止しているので「V」です。観測者は反射音の波長λ′をそのまま受け取り、題意より振動数ｆ3の反射音を聞いたのですから、基本式は次のとおりです。
Ｖ＝ｆ3×λ′
上記の二つの式をまとめると、
(Ｖ－ｖ)／Ｖ＝f2／f3……(2)
式(1)(2)を整理すると、
ｆ3(V－ｖ)＝ｆ１(V＋ｖ)
ｖ＝(ｆ3－ｆ1)×V／(ｆ1＋ｆ3)
選択肢でいうと、答えは①になります。
いかがでしたでしょうか？ ドップラーの公式を書き出さなくても答えを導くことができました。説明のため、基本式を丁寧に記述しましたが、慣れれば、必要な式だけ立ててもいいです。
では、がんばってください。
御覧いただきありがとうございました。受験生のみんなに少しでもお役に立てたなら幸いです。なにか分からないことなどがあれば、コメントしてください。
