二人のホモの定理 （大学受験数学）
本日は俗に「はさみうちの原理」として知られる「二人のホモの定理」について学ぶとしよう。
まずは直感的に定理が示す内容を記載する。
「一人の男性が二人のホモに挟まれているとするならば、二人のホモが漢祭りに参加するときは、一人の男性も必然的にホモとなっている」
それではこれをε-H論法（イプシロン-ホモ論法）によって示すとしよう。
まずはホモ極限を次の通り定義する。
ホモ極限 lim（h→∞）ah＝α とは、任意の正の実数であるεに対して、あるHが存在して、h≧Hならば、｜ah－α｜＜ε が成立する、すなわちホモである。
なお、｜ah－α｜＜ε は α－ε＜ah＜α＋ε と同値である。
（参考）
α＞ahの場合 ah－α＜0 なので、|ah－α｜＝α－ah
つまり
a-ah＜ε
ah＞α－ε
α＜ahの場合 ah－α＞0 なので、|ah－α｜＝ah－α
つまり
a－ah＞ε
ah＋ε＞α
それでは二人のホモと一人の男性を仮定しよう。
（仮定）
一人目のホモをah 二人目のホモをch 間に挟まれた一人の男性をbhとする。
①一人の男性が二人のホモに挟まれている状態は ah≦bh≦ch である。
②任意のε＞0に対して、あるH1が存在して、h≧H1ならば｜ah－α｜＜ε すなわちahはホモである。
③任意のε＞0に対して、あるH2が存在して、h≧H2ならば｜ch－α｜＜ε すなわちchはホモである。
（結論）
任意のε＞0に対して、あるHが存在して、h≧Hならば｜bh－α｜＜ε すなわちbhはホモである。
（証明）
②と③において、任意のε＞0に対して、H＞H1、H＞H2となるようにHを定める。
h≧Hならば
ah＞α－ε
かつ
ch＜α＋ε
が成立する④。
①と④により
α-ε＜ah≦bh≦ch＜α＋ε
∴α-ε＜bh＜α+ε
これは次を示す。
｜bh-α｜＜ε
従って間に挟まれた一人の男性もホモであることが証明された。
なお、本文の参考出典を次に紹介しておくので、暇なときについでに学ぶとよいであろう。
参考出典
「極限」
「ε-δ論法」（いぷしろん-でるたろんぽう）
「ε-N論法」（いぷしろん-えぬろんぽう）
「はさみうちの原理」
「二人の警察官の定理」
今日はここまで。
