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全編数学好き以外読み飛ばし推奨
◆◆◆内は数学大好き以外は読み飛ばし推奨
小室幸人君は高校2年生。
文理分けで理系に進んだことで、数学・化学好きに拍車がかかった。
幸人君は夏休み中に模試があり、その中で3つの連続する数からなる三角形が出題されていた。
最も有名な三辺が3,4,5からなる直角三角形。
そのピタゴラス三角形は高校入試の頃からよくお世話になっている。
5,12,13や8,15,17のような自然数からなる直角三角形だ。
斜辺が5で、他の一辺が3。それなら残りの辺は4。
と、計算することなく求められた。
相似な図形であれば同じ定理が使えるので6,8,10や9,12,15でも使える。
高校1年の三角比であってもsinθ、cosθは単位円の直角三角形の中に収められたので、
cosθ＝3/5ならば3,4,5の直角三角形から相互関係の公式を経由せずとも
sinθ＝4/5と処理ができる。
ちなみに模試のテストに出題されたのは13,14,15の三角形だ。
ただの三角形だと思っていたが、テスト中にある事に気づいた。
3,4,5の三角形と、13,14,15の三角形で完全に一致する大きさの角があるのだ。
片方は直角三角形であり、片方は正三角形崩れの図形。
4の対角、13の対角が
53.1301023542…°
と完全に一致する事に驚いた。
3,4,5からなる直角三角形は面積6、周の長さ12、内接円の半径1
13,14,15からなる三角形は面積84、周の長さ42、内接円の半径4
面積と周の長さは無関係のはずではあるが、
それぞれ1:2と2:1であり、内接円の半径で比べると1:4と
何か関連めいたものがありそうだ。
テスト後にさらに調べる。
連続する3つの自然数による三角形で、
面積が整数になる取り合わせは
3,4,5と13,14,15しか無いらしい。
…ということで連続する3つの整数の例がこれだけしか無いので、
深掘りはできなかった。
13,14,15の三角形の面積が84になることに関していえば、
14を底辺とすると高さ12と整数になり、12,13,14,15と連続する。
さらに84という数は週の7と月の12の積となってる。
太陰暦ではこの84日を3か月12週とし大きな季節の節目としていた。
更に驚くことに13,14,15の三角形における余弦定理の途中式に、
それぞれの2乗が要求され、169+196-225が出てくる。
これは365と225。地球の公転周期と、金星の公転周期では無いか。
この13,14,15からなる三角形はヘロン三角形と呼ばれるものだと分かった。
ヘロンの公式は常用しているので愛着があった。
三辺の長さが分かればその三角形の面積を比較的簡単に求められる公式。
◆◆◆
(公式)三辺をa,b,c s=1/2(a+b+c) S(面積)=√s(s-a)(s-b)(s-c)
(例)3,4,5の三角形の面積→三辺を足して半分にして6。S=√6×3×2×1=6
さらに上記公式のsを分母に移す事で、
(公式)内接円の半径r=√｛(s-a)(s-b)(s-c)/s｝や、
r=abc/4S でも表せる。
(公式)外接円の半径R=S/s
円に内接する四角形でも用いることができる
(公式)四辺をa,b,c,d s=1/2(a+b+c+d) S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
と通常の公式を用いるより早く解を導ける。
◆◆◆
周の長さを求めることが、物事の本質を見抜く何かになるのであろうか？
さて、この365と225という公転周期の出現。
その和は地球と金星の会合周期584日に当然ニアミスする。
金星の公転周期と地球の公転周期がほぼ5:8になっている事で
金星は8年毎で空に五芒星を描く。
金星の存在が古代から神秘的なものとされている理由の一つだろう。
この事から地球の金星と太陽の角度を調べてみようと思った。
すると地球から見て最も角度が開くのが42.38°、
水分子のH2Oであり、HOHと酸素原子を真ん中に置き、Hが左右につく。
しかしHは真横についている訳ではなくOから見て38°程傾き三角形を作る。
この40°前後は明けの明星、宵の明星が大きく綺麗に見られる状況である。
水(H2O)への全反射。観察する外部角42°。
さらに水の屈折による虹は太陽の反対方向に42°の円弧として現れる。
この40°周辺に集まる何か規則性めいたものに僕は没頭した。
きっと一周を360分割して360°とする考えが誤っているのだろう。
水分子がもたらす原子の角度、全反射の角度、虹を作る角度。
地球と太陽、金星が織りなす美しい規則性と数字。
黄金比や白銀比といったものを基準に単位を作らなかった私達の文化は、
一度壊して作り直す必要があるのだ。
問1.幸人君は枠に囚われた誤った思考に陥っている。その部分を具体的に指摘し120字以内にまとめよ。(配点15点)
