Ｐ８ 自然数と整数は同じ個数だけある？
使用教科書 【第一学習社 数Ａ】
教科書８ページに目を通した後に読んでいただけると、より楽しめます。
自然数の集合を、数学の世界ではよくＮで表します。
Ｎ＝｛１，２，３，４，……｝
今、正の偶数全体の集合をＭとしましょう。
Ｍ＝｛２，４，６，８，……｝
この場合、ＭはＮの部分集合となりますので、集合論の記号では「Ｍ⊂Ｎ」と表現できます。
こんなイメージになりますよね。では……
集合Ｎの要素の個数と、集合Ｍの要素の個数。いったいどちらが多いのでしょうか？
どちらも無限個の要素を持つのですが「Ｍ⊂Ｎ」という関係があるのですから、そりゃぁ集合Ｎの方が要素は多いでしょう。
ところが！
これまた数学の世界では、集合ＮもＭも要素は同じ個数だけある事になるのです（正確には同じ【濃度】と言います）。何故でしょう？
簡単に言うと
Ｎにある要素全ては、Ｍにある要素全てと手をつなぐ事ができるから。
難しく言うと
集合Ｎから集合Ｍへの全単射が存在するから
となります。難しい話はさておき……
Ｎに属している １，２，３，４，…… を運動会で選手が１列に並ぶがごとく、並んでいるとしましょう。そしてＭに属している ２，４，６，８，…… もその隣の列に並んだとしましょう。
せーので、集合Ｎの１は集合Ｍの２と、集合Ｎの２は集合Ｍの４と、集合Ｎの３は集合Ｍの６と……
という形で手を繋いでいきます。
すると２つの集合に属する要素は、全てもれなく相手の集合の要素と手を繋ぐ事が可能です。
Ｎに属する１億という数はＭに属する２億と手を繋げますし、Ｍに属する１京という数は、Ｎに属する５０００兆という数と手を繋ぐ事が出来ます。
※ １京は１億の１億倍、１兆の１万倍の数。
もし、Ｎの要素の個数がＭの要素の個数よりも多いというのであれば、Ｎの要素の中にＭとは手を繋げない連中が出てくるはずです。しかしこの対応なら、Ｎに入っている連中は全員Ｍにいる誰かと手を繋げている。
すなわち、Ｎの要素の個数はＭの要素の個数と同じという結論になるんですね。「Ｍ⊂Ｎ」であるのに、ＭとＮには同じ数だけの要素がある。無限が絡むと人間の直感が狂う例の１つです。
……。
お次は整数の集合を考えてみましょう。整数の集合は数学ではよくＺで表します。
Ｚ＝｛ …… －３，－２，－１，０，１，２，３，…… ｝
自然数の集合Ｎに対し、今回は「Ｎ⊂Ｚ」が成り立っています。
しかしこのＺの要素も全てＮの要素ともれなく手を繋ぐ事が出来るのです。
上の整数の集合Ｚに対し、下の自然数の集合Ｎの要素を
このように
自然数を
１，２，３，４…… と
対応させていけば
集合ＺとＮの要素は全て
手を結ぶ事が出来るんですね（ＮからＺへの全単射が存在すると言います）。
例えば自然数の１００は整数の５０が対応しますし、整数の－１００は自然数の２０１が対応します。より正確に言いますと
Ｎ→Ｚに対し、nをＮの要素とします。
n=1 ならば 0
n が偶数なら n/2
n が 1 以外の奇数なら -(n-1)/2
と対応させる事で、全ての自然数と整数は手を繋ぐ事が出来るのです。
結論。なんと
自然数と整数は同じ個数だけある！ （正しくは、自然数と整数は濃度が等しい）
という事になるのです。ん～、不思議ですね～。
今回はここまで！
【次回予告】
次は有理数と自然数の話。有理数というのは
この形で表される数の事です。
分母を１とすればこの形の数は整数となりますので、有理数の集合Ｑは整数の集合Ｚを含んでおります。Ｚ⊂Ｑであるし、もちろんＮ⊂Ｑも言えます。
さて、自然数と有理数では、どちらが多いのでしょうか？
例えば０と１の間には整数としては０と１の２個。自然数にいたっては１のみの１個だけですよね。しかし有理数にいたっては、０と１の間に無限個あります。
このようにｎ分の１（１／ｎ）の形の有理数を考えれば、それは０と１の間にある有理数だし、ｎをいくらでも取れますので、０と１の間に有理数は無限個あると言えます。
０と１の間に１個しかない自然数。かたや無限個ある有理数。圧倒的に有理数が多いような気がしますが……
その真相は次回！
【おまけ】
部分であるにも関わらず、元の集合と要素の個数が同じである
この概念を採用することで、集合論では【無限】を定義する事が出来るんですね。
集合Ａにおいて
その真部分集合とＡの間に全単射が存在するならば集合Ａは無限である
というように。
【無限】を定義するって、何だか哲学的ですね。笑
