Ｐ６ ベン図
使用教科書 【第一学習社 数Ａ】
教科書６ページに目を通した後に読んでいただけると、より楽しめます。
今回は【ベン図】の話を。
ド・モルガンの法則を証明する時に使われる
この図。英語では【Venn diagram】（ヴェン・ダイアグラム）と言います。「Ｖ」で始まるので「ベン図」というよりは、下唇をかんで【ヴェン図】と言う方が正しいですね。
まぁ、今回のテーマは英語じゃないので、深く突っ込まず先へ。ちなみに私は気になるので、以下「ヴェン図」と記します。笑
この【Venn】というのはイギリス人数学者の名前でして、彼が考案した図なのでヴェン図と呼ぶのです。例えば１つの集合Ａに対しては
このようなヴェン図を考えます。これなら集合Ａに属する要素のある領域と、そうでない領域の２つ
どちらも表されている事になります。
お次は２つの集合に対するヴェン図。
集合２つのヴェン図の場合
「Ａ，Ｂ両方に属する要素のある領域」
「Ａには属するがＢには属さない～」
「Ａには属さないがＢには属する～」
「両方に属さない～」
の４つの領域が必要ですが
このヴェン図にはちゃんと４領域が現れています。
一般にｎ個の集合がある場合、要素としては
１番目の集合に属するか属さない（２通り）
２番目の集合に属するか属さない（２通り）
３番目の集合に属するか属さない（２通り）
・・・ ・・・
ｎ番目の集合に属するか属さない（２通り）
となりますので
全体集合である「Ｕ」の中においては、２のｎ乗通りの在り方があるんですね。
なので集合が１つの場合は、２の１乗で
２つの領域があれば十分であり、集合が２つの場合、２の２乗で
４つの領域があればよいのです。という事は集合が３つの場合、２の３乗で８通りの領域が必要となります。
集合３つの場合、上のような図を考えると
ちゃんと８つあります。教科書にもこの図は後半出てきます。
では……
４つの集合のヴェン図はどのようになるでしょう？
集合１つ、２つ、３つのヴェン図から察すると、このような形になりそうですよね。ところが
この図をよ～く見ると、領域は１４。４つの集合なら２の４乗で１６の領域が必要のハズ。
足りないのは、この２つです。では、どのように４つの円を組み合わせれば１６の領域を得られるのでしょうか？
実は４つの円（と全体集合を表す１つの長方形）をどのように配置しても、１６の領域を作る事は出来ない事が一般に知られています。という事は
４つの円によるヴェン図は存在しない
という事になるんですね。
じゃぁ４つの集合のヴェン図は存在しないのかというと、そういうわけではありません。円以外の図形を用いてやればよいのです。
どんな図形になるのかは……
また次回。笑
