Ｐ７１ ＡＢＣ予想③
さて、今回のお話は
【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】 【ａｂｃ－ｈｉｔ】
の２つの言葉の意味を理解している事を前提に進めていきます。
ですので、上の２つの言葉の意味がわからない人は、必ず手前の記事を読んでからこちらを読んでください。
互いに素な２つの自然数 ａ，ｂ（ａ＜ｂ） に対し
ｃ ＝ ａ ＋ ｂ
とし、３つの数の組合せ（ａ，ｂ，ｃ）を考える。これが【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】でした。
さて、皆さんに質問ですが
ｃ ＜ １００００
を満たす【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】はどれぐらいあると思いますか？
ａ ＝ １
とすれば、ｂは２～９９９８まで考えられるので、このケースだけでも１万近くありますよね。
最近はコンピュータがこういう計算をさっとしてくれて便利です。
ｃ ＜ １００００
を満たす【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は、なんと１５００万組以上もあるんですね。
【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】の中で
ｒ（ａｂｃ） ＜ ｃ
を満たす組合せを【ａｂｃ－ｈｉｔ】と言いました。ｒ（ａｂｃ）がわからない時は、１つ前の記事を読んでください。
ｃ ＜ １００００
を満たす【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は１５００万組もあるわけですが、その中で【ａｂｃ－ｈｉｔ】はいくつあると思いますか？
１０万組ぐらい？ １万組ぐらい？ ５０００組ぐらい？
いえいえ。なんと、わずかに１２０組だけなんですよ。割合にすると、わずかに０．０００８％。
ですから
いかに【ａｂｃ－ｈｉｔ】の出現率が低いか？
というわけなんですね。
ｃ ＜ ５００００
となる【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は、なんと４億組以上もありまして、その中で【ａｂｃ－ｈｉｔ】はわずかに２７６組しかありません。その出現率は ０．０００２８％ ですから、ｃが大きければ大きいほど、希少性が高くなる事がわかると思います。
【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は、ほとんど
ｒ（ａｂｃ） ＞ ｃ
満たすのですが、まれに
ｒ（ａｂｃ） ＜ ｃ
を満たす【ａｂｃ－ｈｉｔ】が存在します。その出現率は非常に低いのですが、【ａｂｃ－ｈｉｔ】は無限組ある事が知られています。
ところがですね……
この不等式を満たす【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】があるか……という問題があるんですね。
２０１２年１１月現在
全ての【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】がこの不等式を満たす事が証明されているわけではありませんし、反例（不等式を満たさない具体例）が存在することもわかっておりません。
実はコレこそが【ａｂｃ’予想】なんですね。
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【ａｂｃ’予想】
３つの数字の組（ａ，ｂ，ｃ）が、【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】であれば
が成り立つ。
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ここから先、上記の【ａｂｃ’予想】が正しいなら……
という、仮定の話をします。
３つの自然数 ｘ，ｙ，ｚ と、自然数 ｎ に対し
このような等式が成り立つとします。
もし（ｘのｎ乗）と（ｙのｎ乗）が１以外の公約数を持つとしたら
（ｘのｎ乗） ＝ ｘ・ｘ・ｘ・ …… ・ｘ
（ｙのｎ乗） ＝ ｙ・ｙ・ｙ・ …… ・ｙ
ですから、ｎ乗する前の ｘ、ｙ が共に同じ公約数を持つ事になります。
ｘ，ｙ の最大公約数を k とおくと、２つの互いに素な自然数 ｘ’とｙ’を用いて
ｘ ＝ ｋｘ’ ， ｙ ＝ ｋｙ’
と表す事が出来ます。そうすると
この式の左辺は
この計算により、（ｘのｎ乗）＋（ｙのｎ乗）は、（ｋのｎ乗）を約数に持ちます。
という事は、（ｘのｎ乗）＋（ｙのｎ乗）に等しい、（ｚのｎ乗）も（ｋのｎ乗）を公約数に持つわけです。これから、ｚ自身がｋを約数に持つ事がわかります。
そこで ｚ ＝ ｋｚ’ とおくと
このように計算されます。
この式の左辺が
このように計算され、右辺は
このように計算されたわけですから、左辺＝右辺より
この式が成り立つ事になります。すなわち
という形になるわけです。
これまでの話をまとめると
このような等式を考える場合、（ｘのｎ乗）と（ｙのｎ乗）は互いに素で考える事で一般化してよいという事です。（ｘのｎ乗）と（ｙのｎ乗）が公約数を持つなら上で述べてきたように ｘ と ｙ の最大公約数を考える事で
この式を導くわけです。（ｘ’のｎ乗）と（ｙ’のｎ乗）は互いに素になりますからね。
このとき ｘとｙ は互いに素となりますので、ｘ＜ｙ か ｘ＞ｙ となります。
もし、ｘ＞ｙ であるならば、２つの数字 ｘ、ｙ を入れ替える事によって ｘ＜ｙ となるようにしておきます。
さて、準備完了。なぜ、こんなわずらわしい説明をしたかというとですね……
この式において、（ｘのｎ乗）と（ｙのｎ乗）と（ｚのｎ乗）が【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】の関係になるようにしたかったからなんです。
これから何をしようとしているか、感づいている人もいるでしょう。
そう！ 【フェルマーの最終定理】（フェルマー・ワイルズの定理）を証明しようというわけです。では、いきます。
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【フェルマーの最終定理】
３つの自然数 ｘ、ｙ、ｚ に対し
これを満たす３以上の自然数 ｎ は存在しない
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【証明】
ｘ、ｙは互いに素であると考えてよい。
このとき、（ｘのｎ乗）（ｙのｎ乗）（ｚのｎ乗）は【ａｂｃ-ｔｒｉｐｌｅ】となる。
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【ａｂｃ’予想】
３つの数字の組（ａ，ｂ，ｃ）が、【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】であれば
が成り立つ。
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これが正しいならば、ａ＝（ｘのｎ乗）、ｂ＝（ｙのｎ乗）、ｃ＝（ｚのｎ乗） とおいて
この不等式が成り立つ事になります。左に小さい数式をおいています。
この右辺に出てくる
この式について考えます。これは３つの積
（ｘのｎ乗）×（ｙのｎ乗）×（ｚのｎ乗）
を素因数分解した時、かぶらない素因数だけを掛け合わせたものだったので
（忘れた人は前回の記事を見てください）
この式が成り立ちます。だって（ｘのｎ乗）を素因数分解した時に出てくる数字は、ｘを素因数分解した時に出てくるそれと同じですからね。
さらに
この不等式が成り立つのは明らかです。ｒ(ｘｙｚ)は、積ｘｙｚのかぶらない素因数だけをかけてるわけですから、ｘｙｚより小さいというわけです。
また
この式から
（ｘのｎ乗） ＜ （ｚのｎ乗） ， （ｙのｎ乗） ＜ （ｚのｎ乗）
は明らかですから、これより
ｘ ＜ ｚ ， ｙ ＜ ｚ
がいえるわけで、この両辺をかける事で
ｘ・ｙ ＜ ｚ・ｚ
となり、さらに両辺にｚをかける事で
この不等式を得ます。つまり
こうなるわけです。今までの流れを１行であらわすと
このようになりますゆえ、その一番左と一番右の式に注目し
この不等式を得ます。さらにこの両辺を２乗して
が成り立ちます。ａｂｃ’予想から
これが成り立ってましたので、上の式とあわせて
このようになりますので、結果として
この不等式を得るわけです。これが欲しかった不等式。これから
ｎ ＜ ６
となり、ｎは３以上の自然数でしたから６未満という事は
ｎ ＝ ３，４，５
の３択になります。
つまりですね……
これを満たす自然数 ｘ，ｙ，ｚ があるならば、この式に出てくる ｎ は、５以下なのです。
ｎ＝２ の時は、ピタゴラスの定理（三平方の定理）から、これを満たす ｘ、ｙ、ｚ の組が無数にある事がよく知られています。
また、ｎ＝３，４，５ の場合について、これらは、フェルマー自身や（ｎ＝４）、オイラー，ソフィ・ジェルマン，ディリクレなどの活躍によって１９世紀までに
ｎ＝３，４，５ の時
を満たす自然数の組 ｘ，ｙ，ｚ は存在しない
という証明が与えられているのです。
以上より、３以上の全ての自然数 ｎ について
を満たす自然数の組（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない事が証明できました。
ちょっと難しかったかもしれません。
あと、なるべく数式を多めにしようと思って、ちょっと証明が長文になっちゃいました。
実際は１ページの論文ですむレベルなんですけどね。
☆★
今回、【ａｂｃ’予想】と、これを使えば【フェルマーの最終定理】をすぐに証明できる事をお話しました。
実はですね……
今回お話したのは【ａｂｃ’予想】でして、【ａｂｃ予想】ではありません。なんか、ダッシュ（’）がついてますよね。
次回は正式な【ａｂｃ予想】をお話したいと思います。ただ、正式な【ａｂｃ予想】は、無理数の指数が出てくるので、正直「高校１年生にはわらかない」でしょう。苦笑
だから高校１年生にまでわかる話は今回まで。
ただしなるべく、高校生にも「ふ～ん」と言ってもらえるように次回の記事を書きたいと思いますので……
次回の記事でお会いしましょう。
