Ｐ７０ ＡＢＣ予想②
教科書のページ通りには進んでおりません。
さ。ＡＢＣ予想についての話です。
まずは小学校の時に学んだ素因数分解を復習しましょう。
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皆さんは【素数】をご存じですか？ 数学の世界で【素数】は非常に重要な概念でして、リーマン予想だとかゴールドバッハ予想など、素数に関する未解決問題はたくさんあります。紀元前から多くの哲学者や数学者が素数に挑んで参りました。
正の約数を２つしか持たない自然数を【素数】と言います。教科書では
１より大きい自然数で、正の約数が１と自分自身しかないもの
と記されております。よく勘違いされるのですが、【１】は素数ではありません。
１より大きい自然数は、全て素数の積であらわす事が出来まして、これを素因数分解といいます。
例えば自然数【７２】。これを素因数分解しようと思ったら
こういう計算したの、覚えてます？ 小学校で学ぶ計算法です。結果
７２をこのような形で素因数分解した事になります。
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では、ＡＢＣ予想の第１歩。
【定義１】
自然数ａが
と素因数分解される時、自然数 ｒ(ａ) を
で定義する。
まぁ、この定義は一般化して書かれてあるので難しそうですが、実際やってみると簡単です。
例えば先ほど出た７２という数字は
と因数分解出来ましたので、素数につく小さな数字（指数といいます）を除いて
ｒ(７２) ＝ ２・３ ＝ ６
となります。
では、もう少し練習してみましょう。これが【ＡＢＣ予想】を理解する第一歩ですので、皆さん、ついてきてくださいよ～。
問１ 以下を計算しなさい
(１) ｒ(６０)
(２) ｒ(１２６)
(３) ｒ(２１０)
(４) ｒ(１０２４)
この解答は【後書き】に載せます。是非、自分の手と頭を使って計算してみてください。こういう計算をした方が、【ＡＢＣ予想とは何か？】がよりよくわかると思いますので。
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さて、第２歩目……行きますよ。
まずは【互いに素】という言葉から。
２つの自然数 ａ，ｂ に対して、１以外の公約数を持たない時
この２つの自然数を【互いに素】であるという
もっと平たくいえば【最大公約数が１である２つの数】が【互いに素】というわけですね。
例えば１０と１５は、公約数５を持つので【互いに素】ではありません。
２７と４１は、１以外の公約数がないので【互いに素】です。
【互いに素】。昔は教科書に載ってた言葉なんですが、最近の教科書では見かけなくなりました。なぜなんでしょう？ 私もわかりません。笑
例えば背理法でルート２が無理数である事の証明では、この言葉使うとスッキリいくと思うんですけどね。
まぁ、それはさておき。話を【ＡＢＣ予想】に戻します。
【互いに素】である２つの自然数 ａ，ｂ を考えます。便宜上、ａ＜ｂ としましょう。ちなみに ａ＝１ でも構いません。
この２つの自然数 ａ，ｂ に対し、３つ目の自然数ｃを
ｃ ＝ ａ＋ｂ
として定めます。このように得られた３つの自然数の組（ａ，ｂ，ｃ）を
ａｂｃ-ｔｒｉｐｌｅ
と呼びます。この【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】に出てくる３つの自然数の積 ａｂｃ を考え、【定義１】で定義した ｒ(ａｂｃ) を計算します。そしてこの ｒ(ａｂｃ) と、自然数 ｃ の大小関係を調べます。
ちょっと説明が長くなったので具体的な例を示してみましょう。
例えば ａ＝２，ｂ＝３ の場合、ｃ＝２＋３＝５ となります。【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は
（２，３，５）
ですね。では３つの自然数の積を求め、ｒ(ａｂｃ) を計算してみましょう。
ａｂｃ ＝ ２・３・５ ＝ ３０
ですが、ａｂｃ を素因数分解したものは上記にある通り、そのまま ２・３・５ となりますので
ｒ(ａｂｃ) ＝ ２・３・５ ＝ ３０
です。
ｒ(ａｂｃ)＝３０ ｃ＝５
なので、このケースでは
ｒ(ａｂｃ) ＞ ｃ
となります。この形、よく覚えておいてください。
では次の例。２つの互いに素な自然数として７と９を考えます。
ａ＝７，ｂ＝９ であるとき ｃ＝７＋９＝１６ になるので【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は
（７，９，１６）
です。
ａｂｃ ＝ ７・９・１６ ＝ （２の４乗）・（３の２乗）・７
よって
ｒ(ａｂｃ) ＝ ２・３・７ ＝ ４２
となり、ｒ(ａｂｃ)＝４２ ｃ＝１６ ですから、このケースでも
ｒ(ａｂｃ) ＞ ｃ
となります。
実はこの不等号の向きが変わるような【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】が存在します。その例を以下に挙げます。
ａ＝３２，ｂ＝４９ であるとき（互いに素である事を確認してください）、ｃ＝３２＋４９＝８１ となります。つまり【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は
（３２，４９，８１）
ですね。このとき
ａｂｃ ＝ ３２・４９・８１ ＝ （２の５乗）・（３の４乗）・（７の２乗）
となりますので
ｒ(ａｂｃ) ＝ ２・３・７ ＝ ４２
ｒ(ａｂｃ)＝４２，ｃ＝８１ ですから、このケースは
ｒ(ａｂｃ) ＜ ｃ
となる例の１つです。もう１つこの例を挙げてみましょう。
ｃが最も小さいパターンは、互いに素な２つの自然数１と８を考えた時です。
ａ＝１，ｂ＝８ である時 ｃ＝１＋８＝９ となります。【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】は
（１，８，９）
ですね。３つの自然数の積は
ａｂｃ ＝ １・８・９ ＝ （２の３乗）・（３の２乗）
ですから
ｒ(ａｂｃ) ＝ ２・３ ＝ ６
ｒ(ａｂｃ)＝６，ｃ＝９ ですから、このケースも
ｒ(ａｂｃ) ＜ ｃ
が成り立つ例ですね。
他にも色々 ｒ(ａｂｃ) と ｃ の大小関係をチェックしていくとですね……
その多くは ｒ(ａｂｃ) ＞ ｃ となっており、ｒ(ａｂｃ) ＜ ｃ を満たす ａ，ｂ，ｃ の組合せ、つまり
ｒ(ａｂｃ) ＜ ｃ を満たす【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】
というのが、結構少ないのがわかるんです。
この ｒ(ａｂｃ) ＜ ｃ を満たす【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】を【ａｂｃ－ｈｉｔ】と呼びます。
ではここで問題。
ｃが１桁となる【ａｂｃ－ｈｉｔ】は、先ほど挙げた（１，８，９）だけです。たまに
（３，６，９）もあるじゃないか！
という人がいるんですが、ａ＝３，ｂ＝６ の場合、ａとｂは【互いに素】の条件を満たしていない（最大公約数が３だから）のでダメなんです。これは【ａｂｃ－ｈｉｔ】の例ではありません。
では皆さんに……
ｃが２桁となる【ａｂｃ－ｈｉｔ】を見つけてもらいましょう。
私は今回、ｃ＝８１ となる【ａｂｃ－ｈｉｔ】
（３２，４９，８１）
を挙げました。これ以外に１つでいいので【ａｂｃ－ｈｉｔ】を探してください。もちろんありますから。
余裕のある人は２つ３つ…… いくつあるかまでチェックして頂きたい。
これに関しては、読んだ人に実際計算してもらいたいという事で…… 解答は載せません。
とにかく計算すればわかるんですよ。
あれ？ なかなかないな～ おや？ 何でないの？
みたいな感じになり、見つけられた時に
お！ みっけた！！
となると思いますので。希少性があるので、見つけた時の喜びもひとしおかなと。
そんな喜びを味わって頂きたい。
とまぁ、今回はですね…… ざっと復習しますと
【素数】 【素因数分解】 【互いに素】
このあたりは、聞いた事ある人も多いかと思います。さらに
【ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ】 【ａｂｃ－ｈｉｔ】
についてもお話しました。
今回はここで話を止めておきます。
次回でなんと！ はやくも【ａｂｃ予想】を紹介する事になりますので！
こうご期待！
今回の話で出てきた
問１ 以下を計算しなさい
(１) ｒ(６０)
(２) ｒ(１２６)
(３) ｒ(２１０)
(４) ｒ(１０２４)
の解答を載せておきます。
それぞれこのように素因数分解出来ますので
（１） ｒ(６０) ＝ ２・３・５ ＝ ３０
（２） ｒ(１２６) ＝ ２・３・７ ＝ ４２
（３） ｒ(２１０) ＝ ２・３・５・７ ＝ ２１０
（４） ｒ(１０２４) ＝ ２
となります。皆さん、出来ましたか？
