Ｐ２８ 頭の体操「３回で出来る？」③
さて、前回
区別のつかない１２個の球の中に１個だけ重さの違う球が混ざっており、天秤を３回使用する事で「どの球」が「重いのか軽いのか」を特定しなさい
という問題の解答をしました。
解答を見れば「確かにね」と思うでしょうが、大事なのは考え方。数学の授業って、ただ解答を授業してそのパターンを教える事も大事ですが、入試レベルとなると「どうしてそのように解くのか」を教える事も大事になります。
今回はこの問題を数学的に考えることによって、前回の解答手順を導いてみます。つまり、ただやみくもに天秤を使うのではなく、「数学的にこういう理由だから、このように天秤を使うのだ」という話をしてみます。なかなかね、そういう話をする人っていないから、文章だけでどこまで伝わるか不安ですけどね。笑
まず最初の段階で考えるべきは、天秤を３回使用すると「何通りのパターンが起こりうるか？」です。
１回の天秤使用で考えられる結果は
左に傾く 釣り合う 右に傾く
の３通りあります。という事は、２回の天秤使用では
（１回目３通り） × （２回目３通り） ＝ ９通り ①
そして天秤３回の使用だと
（１回目３通り） × （２回目３通り） × （３回目３通り） ＝ ２７通り
の結果が得られます。
樹形図で考えるとこの通りです。そして「犯人は何通り考えられるか？」をチェックします。
１２個の球だからといって「犯人は１２通り」ではありません。１個の球につき「重いか軽いか」の２通りが考えられる事を考慮すると
（容疑者１２個） × （重いか軽いか２通り） ＝ ２４通り
２４通りの犯人像が浮かび上がります。
３回の天秤使用で２７通りの結果が得られ、その中で２４通り考えられる犯人を特定すればいいので、
２７ ＞ ２４
より、これは出来る可能性があるわけです。まぁ実際出来るんですが、この段階においては「数学的には出来るかもしれない、出来ないかもしれない」という事になります。
では、実際天秤を使ってみましょう。
１回の天秤使用で、乗せる球のパターンは
１個ずつ ２個ずつ ３個ずつ ４個ずつ ５個ずつ ６個ずつ
の６通りですが、解答では最初４個ずつ乗せました。それはなぜか？
例えば最初に５個ずつ乗せた場合を考えてみます。まぁ釣り合えば、残り２個から２回の天秤使用で特定できるのは明らかに可能です。しかし傾いた場合
５個の重い容疑者と、５個の軽い容疑者、合計１０通りの犯人像が浮かび上がります。
残り２回の天秤使用では、①の計算で９通りしか異なる結果を得られません。残り９通りで１０通り考えられる犯人を特定するのは不可能というわけです。
だから最初で天秤に５個ずつ球を乗せるというのはアウトなのです。同様の理由で６個ずつ乗せるのもアウトです。
では、最初に３個ずつ乗せた場合はどうか。このとき問題なのは釣り合った場合です。
釣り合った時、容疑者は６個。残り２回の天秤使用で９通り判別出来るから大丈夫かと思いきや
残り６個は「重いか軽いか」の判定が出来てないため、この時点では
（容疑者６個） × （重いか軽いか２通り） ＝ １２通り
犯人のパターンは１２通りあるのです。残り２回の天秤使用では９通りしか判別出来ないので、これはアウトと数学的に導かれるのです。同様の理由で１個ずつ、２個ずつもアウトになります。
４個ずつ乗せた場合
釣り合えば容疑者は４個。それぞれ重いか軽いかの２通りありますから、犯人のパターンは８通り。
どちらかに傾いた場合、重い容疑者４個と軽い容疑者４個で、計８通りの犯人パターンが考えられるわけです。
だから４個ずつ乗せ、釣り合っても傾いても、犯人像は８通りにまでしぼれた事になり、残り２回の天秤使用では９通り判別できる事から、最初の天秤使用では「４個ずつ乗せる」が、犯人を捕らえるための唯一の手順（この段階では、まだ可能性がある）になるのです。
最初で釣り合った場合、
容疑者は４個（重い軽い２通り）ですが、
このように次の天秤使用で容疑者を２個残す（つまり容疑者２個を天秤の皿へ置く）時、傾く場合はいいのですが釣り合った場合がマズイ。釣り合うと天秤上の容疑者２個の容疑は晴れますが
残った容疑者２個に対し、重いか軽いかが判定できてないので、残る犯人像は
（容疑者２個） × （重い軽い２通り） ＝ ４通り
となり、残り１回の天秤使用では３通りの判定しかできないため、ここでアウトになるのです。同じ理由で容疑者を３個残す（容疑者１個を天秤皿に乗せる）のもアウトになります。
また４個全ての容疑者を乗せると
この時、釣り合う事はありません。犯人が天秤の皿上にいますから。だからどちらかに傾くわけですが、そうすると「４個の重い容疑者」か「４個の軽い容疑者」が残ってしまい、いずれも考えられる犯人のパターンが４通りとなりますから、やはりこちらもアウトとなります。
最初の天秤使用で釣り合った時、２回目の天秤使用では
１個ずつ乗せるのはダメ ２個ずつ乗せるのはダメ ４個ずつ乗せるのはダメ
ですから
このように容疑者３個を天秤皿に乗せ、１個の容疑者は乗せないという方法しか考えられません。
この時天秤が傾けば、皿上にある容疑者の中に犯人がいて
３個の軽い容疑者 または ３個の重い容疑者
の３通りの犯人像が浮かび上がり、ラスト１回の天秤使用で３通り判定できるのでＯＫです。また、釣り合った場合は残る容疑者は１個。そして重いか軽いかだけですので、犯人のパターンは２通り。残り１回の天秤使用で判別出来るわけです。
従って、最初の天秤使用で４個が釣り合った時は、３個の容疑者を天秤皿に乗せるしか、犯人を特定できる方法はないのです。
最初の天秤使用で傾いた場合は
どちらに傾いても４個の重い容疑者と、４個の軽い容疑者が浮上します。
逆算しますと……
ラスト１回では３通りの判定しか出来ないわけですから、２回目の天秤使用で容疑者を４個以上残してはアウトになります。
まぁ、このように残り１回では３通りしか判別出来ない事を念頭に、じゃぁ２回目の天秤をどのように使えばいいかと考えていけばいいのです。
４個の重い容疑者と、４個の軽い容疑者が残った場合はちょいと難しいですが、上記の事を忘れずに考えていけば、答えは見つかります。後の解答は、ここでは省略します。忘れた人は前回を見てください。
とまぁ、今回は天秤問題の解答ではなく、「どうやって解答を導くか？」のお話をしました。
こういう考え方って、仕事にも応用できる事があります。仕事の効率改善や本質的なものを考えたとき、どうする事がベストだろうかと考え、それを実現するためには何をすべきかと思考する。
逆算する、選択肢を吟味する、他のアイディアをひねり出せないか ……
最善、もしくは最善に近い道はいろいろなところに潜んでいます。数学的、論理的な思考で効率よい仕事法を考えてみてはいかがでしょう？
☆★
以上、私が学生の時に天秤問題を解決するに至った思考手順を記しました。なかなか文章だけで伝えるのって難しいですけどね、数学は。笑
私はこれらをレポートにして大学の先生に提出したんですよ。そしたらレポートを提出したのは私１人。
教授「誰もレポート出してないって事は難しすぎたか。
仕方ない。今回の課題は出さなくても単位に影響しません」
こうして私のレポートは
教授「後で見るから」
と言われて、結局講義が終了して単位認定まで読まれる事はありませんでした。ていうか、最後まで読まれませんでした。なぜなら教授の部屋の片隅に、封筒に入った状態の私のレポートがずっと放置されていたのを見たからです。
ま、いいんですけどね。
ただですね。
私はレポートを書きながらこう考えたんですよ。
問題が１２個でなく、１３個だったら？
と。
１３個だった時、最初の時点で重いか軽いかの容疑者が１３個いるわけですから
（容疑者１３個） × （重いか軽いか２通り） ＝ ２６通り
犯人像は２６パターン。３回の天秤使用で２７通り判別できるので、これは可能かもしれないと。
ところがですね……
最初に４個ずつ乗せた場合
傾けば、１２個の時と同じように判別できますが、釣り合っちゃうと
残る容疑者は５個。
そして重いか軽いかを考えると
（容疑者５個） × （重いか軽いか２通り） ＝ １０通り
となり、残り２回の天秤使用で９通りしか判別出来ない事を考えると
最初に４個ずつ乗せるのはアウト
とわかります。もちろん３個ずつ、２個ずつ、１個ずつ乗せるのもアウトです。
じゃぁ、最初に５個ずつ乗せるかという事になりますが……
傾いた場合がマズイんですね。
５個ずつ乗せ、天秤が傾いちゃうと
５個の重い容疑者 と ５個の軽い容疑者
合計１０個の容疑者が現れてしまい、やはり残り２回の天秤使用では犯人を特定出来ないんですね。
従って
１３個の球があり、１個だけ重さが違う球がある。ただし標準より重いか軽いかはわからない。この状況で天秤を３回使用して「どの球が重いか軽いか」を特定する事は出来ない
と結論づけられます。
何がすごいって、「出来ない事もわかる」事なんですね。
数学を武器に、戦略を考える事も出来れば、「あ、これ無理だわ」と不可能であることも理解できる。それってすごいと思いません？ 笑
最後に。
実は私、学生の時もう１つ考えたんですよ。
１３個の球、うち１個は重さがわからない（軽いか重いかも）。そして標準の重さとわかっている球が１個ある。この状況で、天秤３回使用で重さの違う球を特定し、重いか軽いかわかるか？
とまぁ、自分でこんな問題を設定したんですね。
球が１３個から１４個に増えてはいるんですが、増えた１個は「標準の重さ」だとわかっている。
実はですね……
標準の球が１個増えただけで、この問題は解決可能なのです！
まぁ、解答はしませんが、時間に余裕のある方は是非とも考えてみてくださいな。
今回はこれまで！
次回はまた１つ、面白い問題を出します。天秤に比べれば遙かに簡単だし、答えを聞いた時感動する頭の体操となります。
では、また次回。頭を柔らかくして、お会いいたしましょう。笑
