Ｐ１５ 色々な数え方④
さて。色々な数え方の４回目になります。
教科書では習わない、色々な数え方についてお話ししております。問題を出題する形で話を進めているのですが、今回は第４問となります。
【第４問】
大統領夫妻が、４組の夫妻を招いてパーティーを開きました。
パーティーが始まった直後、みなで挨拶しながら握手しあいます。
握手に関しては
１つ。自分のパートナーとは握手をしない。
１つ。パートナー以外の人物と、必ずしも握手する必要はない。
（握手しない人物がいてもよい）
１つ。同じ人物とは１度しか握手しない。
この３つが条件となります。
大統領夫人は、自分以外の９名が握手した回数を数えました。すると、９名の握手数は全て違っていました。
ここで問題。ズバリ、大統領は何人と握手したでしょう？
この問題をノーヒントで、そして自力で解けた人は素晴らしいです。
解答は図で説明しましょう。まずは５組の夫妻を
このように円卓に座らせる形で考えます。そしてＡとＢは夫婦、ＣとＤは夫婦、ＥとＦは夫婦、ＧとＨは夫婦、ＩとＪは夫婦であるとしましょう。図では夫婦となる２人はすぐ側に座らせています。
さて。大統領夫人が自分以外の９人の握手数を数えた結果、９名の握手数は全て違っていたんですよね。そこからそれぞれの握手数が割り出せます。
１人の人物が握手できる最高回数から考えればよいのです。自分以外に９人いるから、最高９回の握手が出来たのか……
答えは否。自分のパートナーとは握手をしないという条件があるため、１人の人物が握手できる最高回数は、自分とパートナーを除く【８回】となります。
９人の握手数が全て違うのに最高が８回？
と疑問に思う人もいるでしょう。何故ならある人物は握手数が１、ある人物は握手数が２……と考えていけば、握手数が最高８回となるには８人の人物までしか考えられないハズ。
ここが最初の難関。問題をよ～く読むと、９人の握手数が全て違ってたとしか書いてませんので、握手数０（ゼロ）の人物がいても構わないのです。つまり大統領夫人以外の９人、その握手数は
０回，１回，２回，３回，４回，５回，６回，７回，８回
となるのです。ＯＫでしょうか？
では次へ進みますよ。まず握手数の多い人物から考えて行く事にします。最初の図の誰でもいいのですが、例えば人物Ａが８回の握手をしたとしましょう。
Ａは自分のパートナーＢとは握手できないので、残り８人全てと握手をする事になります。その図を
このように表します。図を見れば解るようにＣ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊの８人はＡと握手しているため、握手数は８人とも１以上となります。そしてＡの握手数が８と確定している情報を合わせると、必ずいなければならない【握手数０】の人物はＢだと決定できるのがわかるでしょうか。
従ってこの時点で【Ａの握手数は８】【Ｂの握手数は０】と確定しました。
握手数が多い人物から考えるので、次は握手数が７の人。ＣからＪまでの８人の握手数はこの時点で全て１ゆえ条件は同じ。したがって握手数７の人物は、Ａ・Ｂ以外の誰としてもいいのですが、今回はＣの握手数が７だとして進めます。
人物ＣはすでにＡと握手していて、Ｂも握手数が確定しているためＢとは握手できません。さらにはパートナーのＤとも握手できない。そうすると……
Ｃの握手相手は、Ａ・Ｅ・Ｆ・Ｇ・Ｈ・Ｉ・Ｊの７人となります。上の図がそれを表しています。この時点でＡ・Ｂ・Ｃの握手数が確定してます。
Ａ・Ｂ・Ｃ以外の握手数は……
まず、Ｄの握手数は１。Ｅ・Ｆ・Ｇ・Ｈ・Ｉ・Ｊの６人の握手数は２です。従って必ずいるはずの【握手数１】の人物がＤと確定する事になります。
お次は握手数６の人物を考えます。Ａ～Ｄの握手数は確定していますので、Ｅ～Ｊの誰かが握手数６。上の図では全員握手数が２という同等の立場ですので、誰が握手数６でも構いません。
なのでＥが握手数６だとします。ＡとＣとはすでに握手し（２人と握手してるのであと４人と握手しなければならない）、ＢとＤは握手数が確定しているので握手できない。そしてパートナーのＦとは握手できないので……
Ｅの握手相手はＡとＣに加えて、Ｇ・Ｈ・Ｉ・Ｊの合計６人となります。ここまでＡ～Ｅの５人の握手数が確定。この時点で残り５人の握手数を確認すると、Ｆの握手数が２。Ｇ・Ｈ・Ｉ・Ｊの４人の握手数が３となっています。
という事は必ずいる【握手数２】の人物がＦと確定します。Ｆ以外握手数２を満たす人物がいないからです。
Ａ～Ｆの６人の握手数が確定。次は握手数５の人物を捉えます。上の図ではＧ・Ｈ・Ｉ・Ｊの４人とも握手数が３なので条件は同じ。なのでＧの握手数が５とします。
現在握手数３のＧはあと２人と握手する必要があります。Ａ～Ｆの握手数は確定していて、パートナーのＨとは握手できない事を考慮すると、残り２人の握手相手はＩとＪです。
この時点でＨの握手数は３で、ＩとＪの握手数は４。という事は必ずいる【握手数３】の人物はＨとなります。
ＡからＨまでの８人の握手数が確定しました。残りはＩとＪの２人。まだ抑えていない【握手数４】の人物はこの２人のどちらかです。上の図ではＩもＪも握手数４なので、どちらが【握手数４】の人物となっても構いません。
Ｉが握手数４の人物だとして確定させます。するとＡからＩまでの９人の握手数が確定してしまったため、残る１人Ｊはこれ以上誰とも握手できません。すなわち
Ｉ・Ｊ、ともに握手数４となり、これにて全員の握手数が確定した事になります。
あれ？ 握手数が全員違うはずなのに、同じ握手数の２人がいるぞ？
と思った人もいるでしょう。問題をよ～く読み直してみましょう。【大統領夫人以外】の９人の握手数が違えばいいのです。
そう。そこで得られる結論は１つ。ＩかＪのどちらかが大統領夫人だという事です。そうすればＩ以外、もしくはＪ以外の９人の握手数は全て違うハズです。
したがって、ＩとＪは大統領夫人と大統領の組なのです。もうわかりましたね。
ズバリ、大統領の握手数は４！
が答なのです。
私の記憶が確かなら……
１０年ほど前、数学者の秋山仁先生がニュースステーションで同じ問題を紹介していました。あの時は５組の夫婦でなく、３組の夫婦だったと記憶しております。
★☆
これまで、４回にわたり色々な【数える】を紹介してきました。この【数える】シリーズは、いったんここで閉めておきます。
ただ教科書に載ってないこういった【面白い数え方】はまだまだたくさんありますので、機会があればまた【面白い数え方】を紹介したいと思います。
次回はですね～
グラフ理論
のお話をしようと思います。
今回の問題、私は見た目を意識して円と直線で説明しました。もうちょっと簡略化して、点と線だけで説明する事も出来ます。この点と線（正確には頂点と辺）だけを扱う数学の分野こそグラフ理論。
２次関数のグラフとか三角関数のグラフとは全く別物の、頂点と辺だけの【グラフ】を扱う事になります。
みなさんは……
この図形、一筆書きで描けますか？
そんなお話をしますので～。お楽しみに！
