Ｐ１４ 色々な数え方③
前回出題した問題の解答をします。
まずは問題を確認して見ましょう。
図のように、１本の直線と２つの円が配置されています。直線にも２つの円にも接するような円はいくつあるでしょうか？
という問題。
まぁ、どう考えても直線の下側で接する円は考えられません。なので
直線と接するのは上側
です。という事は……
後は２つの円とどのように接するかだけを考えればＯＫですよね。
前回のように円Ａに対し、内接する・外接するの２通りあるという風に考えれば……
（円Ａ，円Ｂ）＝（外接，外接）（外接，内接）（内接，外接）（内接，内接）
の４通りがありそうです。
ところがこの問題はそんなに甘くない。答を先に言いますが、実はその倍の「８つ」が正解となります。
ただ、考え方の指標は当たっているのです。では、実際にどんな円があるのか見てみましょう。
ｃａｓｅ１ （円Ａ，円Ｂ）＝（外接，外接）
真っ先に浮かぶのはこの円でしょう。ところがこの条件に当てはまる円がもう１つあるんですね。
このようにバカでかい円を考えれば、確かに直線に接し、なおかつ２つの円に外接しております。
前回出題した「３つの円に」外接する円は１つしかないのですが、「１本の直線と２つの円に」外接する円は、なんと２つ存在するのです。このｃａｓｅ１は以上。続いて……
ｃａｓｅ２ （円Ａ，円Ｂ）＝（外接，内接）
これまたこのような円を思い浮かぶでしょうが、条件に見合う円はもう１つ。
あまりにも巨大過ぎる円になるため、上のような図しか描けませんでしたが、まぁ想像はできると思います。というわけでｃａｓｅ２を満たす円も２つ。
以下、ｃａｓｅ３，ｃａｓｅ４を満たす円も２つずつあるのです。確認してみましょう。
ｃａｓｅ３ （円Ａ，円Ｂ）＝（内接，外接）
この円と
この円。どちらも円Ａには内接し、円Ｂには外接していますね。
ｃａｓｅ４ （円Ａ，円Ｂ）＝（内接，内接）
これが真っ先に浮かぶであろう円。そしてもう１つ。
こちらもバカでかい円なので一部だけ描いております。
てなわけでｃａｓｅ１～４まで、条件を満たす円は２つずつという事で答は「８つ」でした。
実はこの問題。東京大学の入試問題の過去問なんですね～。
そりゃ難しいハズ……
と、言いたい所ですが、実は受験生的にはこれと似たような問題に遭遇してるはずなんですね。
数Ⅱの話になっちゃいますが「図形と方程式」というところで
点（２，１）を通り、ｘ軸とｙ軸の両方に接する円の方程式を求めよ ①
という定番の問題があります。この問題の解き方は省略しますが、条件を満たす円は２つあります。
まぁ東大の方の問題はこれより難しいではありますが、①の問題の延長上にあるんです。
以上で前回から出題してきた第３問を終了します。
そして第４問！
またまた新しい数え方を扱う問題を出題します。
【第４問】
大統領夫妻が、４組の夫妻を招いてパーティーを開きました。
パーティーが始まった直後、みなで挨拶しながら握手しあいます。
握手に関しては
１つ。自分のパートナーとは握手をしない。
１つ。パートナー以外の人物と、必ずしも握手する必要はない。
（握手しない人物がいてもよい）
１つ。同じ人物とは１度しか握手しない。
この３つが条件となります。
大統領夫人は、自分以外の９名が握手した回数を数えました。すると、９名の握手数は全て違っていました。
ここで問題。ズバリ、大統領は何人と握手したでしょう？
論理的思考と、うまい数え方で……
この条件で大統領の握手した回数が出るのです。さぁ、あなたは解けるかな？
