四元数の上位構造の研究

この研究では四元数を構成する上位構造があることを突き止めたので示します。

演算表を以下の通りと定義します。

×　　ｐ　　　ｐー　　ｑ　　 ｑ－　　ｒ　　ｒー

ｐ　　　　　　ー１　　ｒー　 ｋ　　ーｑー　ーｊ

ｐー　ー１　　　　　　ｋ　　 ｒ　　ーｊ　　ーｑ

ｑ　　ーｒー　ーｋ　　　　　 ー１　　ｐー　　i

ｑー　ーｋ　　ーｒ　　ー１　　　　　　i　　 ｐ

ｒ　　ｑー　　ｊ　　　ーｐー　ーi 　　　　　ー１

ｒ－　ｊ 　　　ｑ　　　ーi　　ーｐ　　ー１

上記の構造が四元数の上位構造です。

交換法則は成り立ちませんが、結合法則は成り立ちます。

ここでijkの値を求めてみましょう。

ijk＝ｑ・ｒー・ｒ・ｐー・ｐ・ｑー＝ー１

となり、ー１が求められます。

【２０２１年６月２６日追記】

さらに上位構造があるのを発見した。

演算表は以下の通り。

× 　　a　 　 b 　　 c

a　　ー１ 　　r 　ーqー

b 　ーrー 　ー１ 　　p

c 　　 q 　 ーpー　　ー１

より

pqr＝b・c・c・a・a・b＝ー１が得られる。