Ｐ２０ 意外と知らない、【階乗】の恐ろしさ
こんばんは。
教科書の２０ページでは【階乗】を学んでいます。自然数ｎについて、【ｎの階乗】を
ｎ！＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）……３・２・１
という形で学びました。例えば
５！＝５・４・３・２・１＝１２０
６！＝６・５・４・３・２・１＝７２０
７！＝７・６・５・４・３・２・１＝５０４０
こんな感じで教科書にも例や問題があります。
別の教科書では
１０！＝３６２８８００
と、紹介しているものもあります。
さて……。
数学関係者以外、この【階乗】の恐ろしさを知る人は少ないでしょう。いや、例えば数学教師であっても、この【階乗】の【爆発力】を知らない人も多いのでは？
その恐ろしさを知らせるため、次のようなお話を考えてみました。
★☆
日本の誇るスーパーコンピューター【京】をご存じでしょうか？
２０１２年７月現在、残念ながら１年間守り通した計算処理速度世界１位の座を明け渡し、２位となってしまいました。
その名の通り、１秒間で１【京】もの計算をしてしまうスパコンです。
１京というのは、１億の１億倍。
１京＝１００００００００００００００００
０が１６個も並ぶ数です。わずか１秒でこれだけの回数を計算して……
そもそもそんなに計算する必要があるの？
この質問に対する答はありますが、今回は省略。別の機会にくわしく話したいと思いますが、一言だけ言うならば【未来が見える】とだけ言っておきましょう。
スパコン【京】を紹介したところで、【階乗】の話。
例えばジョーカーを除く１組５２枚のトランプがあったとして、これを横１列に並べる場合の数はいくつでしょうか？
そう。５２！（ごじゅうにのかいじょう）通りです。
では、問題です。
スパコン【京】を用い、１秒間で１京通りの横１列トランプの配列を表示したとします。この時、５２！通り全ての配列を表示するのに、どれだけの時間がかかるでしょうか？
１秒間に１京の表示が出来るので、５２！通り全てのパターンを表示するのに要する時間は
５２！ ÷ １００００００００００００００００ （秒）
となるはずです。
①１秒以下
②１分以下
③１時間以下
④１日以下
⑤１ヶ月以下
⑥１年以下
⑦１３７億年（宇宙誕生から今に至るまで）以上
あなたは、この７択から答を見いだせますか？
５２！ ÷ １００００００００００００００００
私のＰＣにインストールされている、数学ソフトに計算させてみましょう。結果はこう。
割り算を分数で表示しています。右辺の式、１番右に現れるのは【１０の５１乗】といい
１００００００００００…………０
この０（ゼロ）が、５１個続く数です。したがって、秒速１京通り表示可能なスパコン【京】で、５２！通りを表示しようと思ったら、およそですが、８かける１０の５１乗秒かかるというわけです。
なかなかピンときませんね。とりあえず①が不正解という事だけは確かです。
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【８６４００】という数字に馴染みがある人は、なかなかの数字マニア。
６０×６０×２４＝８６４００
で得られる数です。もっとくわしくいきます。１分は何秒ですかと言われたら６０秒。
１時間が何秒ですかと言われたら ６０（秒）×６０（分）＝３６００（秒）。
１日が何秒ですかと言われたら
６０秒（１分）×６０分（１時間）×２４時間（１日） ＝ ８６４００秒
となります。つまり１日は８万６４００秒です。
１秒で１京通りの配列を表示出来るとしたら、１日では
１京×８６４００
通りの配列を表示出来るはずです。という事は
５２！ ÷ （１京×８６４００）
を計算すれば、５２！通り全てを表示するのに必要な日数を計算する事が出来ます。では、数学ソフトに計算させてみましょう。
おやおや。１０の４６乗なんて、これまた途方もない数です。
①１秒以下
②１分以下
③１時間以下
④１日以下
⑤１ヶ月以下
⑥１年以下
⑦１３７億年（宇宙誕生から今に至るまで）以上
なんと①～④全て不正解です。そこで今度は
１京 × ８万６４００（秒） × ３６５（日）
で、５２！を割る事にしてみましょう。上の式は、１年間でスパコン【京】がトランプの並びを表示してくれる回数です。５２！をこれで割ると、トランプの全並びを表示出来る【年数】が表示されるハズです。
なんと２．５かける１０の４４乗年。あまり想像できないと思いますが……
我々の住む宇宙がビッグバンによりインフレーションを経て今現在に至るまで、およそ１３７億年だと言われております。この１３７億という数字は
たかだか１０の１０乗程度で表示出来る数。
結論を言いますと、１秒間に１京通りものトランプの並びを表示出来るスパコン【京】をもってしても、たった１組のトランプを横１列に並べる全ての並び方を表示するには……
宇宙が誕生して今に至るまでの時間では、全く時間が足りないのです。
⑦１３７億年（宇宙誕生から今に至るまで）以上
これが正解だったんですね。
★☆
数学の演算で、コンピュータが苦手とする代表的な演算が
【累乗】と【階乗】
です。【累乗】とは、いわゆる数字の右肩につく【指数】で表される計算の事。
例えば２の１０乗は２を１０回掛け合わせるので
１０２４となります。数学の世界では、この右肩に続く指数が増えると、その数自体は
指数的に増える
という言い方をします。言うなれば、もの凄い勢いで数が増えるって事なんですね。
例えば、薄さ１ｍｍの紙があったとしましょう。これを２回折り曲げると２ｍｍ、３回折り曲げると４ｍｍ、４回折り曲げると８ｍｍの厚さになります。１０回曲げると
この計算により、約１０００ｍｍ。すなわち約１ｍの厚さ、もとい高さになります。
いくらでも折り曲げられるという条件をつけ、５０回折り曲げたとしましょう。どれぐらいの高さになるでしょうか。
この式を見てもなかなかピンとこないでしょうが、右辺の単位をｍｍだとして、地上から軽く月まで届く距離です。１ｍｍの紙を、たった５０回折り曲げれば月まで行けるんですよ。
少ない操作で大きな数を得られるこの【累乗】の世界。３色問題・４色問題に代表される【彩色問題】や【ナップサック問題】においてもこの計算は現れます。
【彩色問題】や【ナップサック問題】のくわしい話は別の機会に委ねるとして……
この指数的に量が増える計算は、処理速度の速いコンピュータをもってしても、現実的な時間で計算を終える事が不可能なんですね。
その【累乗】よりもタチが悪いのが【階乗】。【累乗】の、いわゆる【指数的】な増加よりも、もっともっと速い速度で数が爆発的に増えていくんです。
先に挙げた「５２！」なんかもその１つ。５２の階乗は、２の５２乗よりも遙かに大きな数になります。
この【累乗】や【階乗】を扱う問題は、次世代コンピュータと言われる量子コンピュータを持ってしても、現実的な時間で計算できないのです。
ちなみに量子コンピュータはまだまだ研究段階ですが、量子力学のアイディアを応用して作られるコンピュータです。現コンピュータが１億年かかってやる計算を、わずか１秒で計算してしまう超驚異的なコンピュータです。
その量子コンピュータを持ってしても、たった１組のトランプを１列に並べる全パターン（５２！通り）を表示させるには、１３７億年では足りないのです。
【累乗】や【階乗】が、皆の想像を絶するほど数が増えるというのをわかって頂けたと思います。
しかし数学の世界には、さらにその上をいく【タワー】と呼ばれるものがあるのですが……
その話はまた次の機会に。笑
